高中数学-高考试题(全国统考 1981年排列)

问答题（1981年全国统考）

在 A , B , C , D 四位候选人中：

1．如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．

2．如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．

答案解析

1. 选法种数 =4×3=12(种).所有可能的选举结果（把正班长、副班长按次序来写）：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.2. 选法种数==4(种).所有可能的选...

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讨论

高中数学

设 A 表示有理数的集合, B 表示无理数的集合，即设 A =｛有理数｝ , B ={无理数｝，试写出：1. A∪B ; 2 . A∩B .

设直线(l)的参数方程是 (t是参数)椭圆(E)的参数方程是 (θ是参数)问：a,b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线(l)与椭圆(E)总有公共点？

抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x上运动.问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是p/y0 ）

已知0<α<π.证明：2sin2α≤cot(α/2)；并讨论α为何值时等号成立.

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ADC,△CBD,△ABC的面积成等比数列，求∠B(用反三角函数表示).

设三角函数f(x)=sin⁡(kx/5+π/3)，其中k≠0.(Ⅰ) 写出f(x)的极大值M 、极小值 m 与最小正周期T; (Ⅱ) 试求最小的正整数k，使得当自变量 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是 M 与一个值是 m .

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A ．从P看地平面上一物体 B （不同于 A ) ，直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线 l 垂直于 AB.

证明对数换底公式：logbN=logaN/logab.(a,b,N都是正数，a≠1,b≠1)

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

排列

甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有【】

The Bank of Oslo issues two types of coin：aluminium(denoted A) and bronze(denoted B). Marianne has n aluminium coins and n bronze coins, arranged in a row in some arbitrary initial order.A chain is any subsequence of consecutive coins of the same type.Given a fixed positive integer k<2n, Marianne repeatedly performs the following operation：she identifies the longest chain containing the kth coin from the left and moves all coins in that chain to the left end of the row.For example, if n = 4 and k=4 the process starting from the ordering AABBBABA would beAABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.Find all pairs (n, k) with 1 ≤ k ≤2n such that for every initial ordering at some moment during the process,the leftmost n coins will all be of the same type. 译文：奥斯陆银行发行了两种货币：铝币(记为A)和铜币(记为B).玛丽安有n枚铝币和n枚铜币，以任意初始方式排成一排。定义一条链为任意由相同类型货币构成的连续子列。给定正整数k<2n，玛丽安重复地进行如下操作：她找出包含(从左到右)第k枚硬币的最长链，然后把该链中所有货币移到序列最左端。例如，n=4，k=4时，对于初始序列 AABBBABA，过程如下：AABBBABA→BBBAAABA→AAABBBBA→BBBBAAAA.求所有满足1≤k≤2n的数组(n，k)，使得对任意初始序列，都可以在有限次操作内使左端为n枚相同的货币。

如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种(以数字作答).

从数字1，2，3，4，5可重复地选出4个，能排列成多少个大于4000的奇数【】

快递员收到 3 个同城快递任务，取送地点各不相同，取送件可穿插进行，不同的取送方式有【】种。

有四个箱子，每个箱子装有3个红球利2个蓝球，且这20个球都是不同的。从这4个盒子中选出10个球，要求每个盒子至少选择一个红球和一个蓝球，则选择的方法共有多少种?

有 0,1,2,3,4,5,6,7 八个数字，可组成小于 10000 之数字有几？

现有11位同学报名博物馆的志愿讲解活动,活动从上午9点开始到下午5点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要1位同学为参观的游客提供讲解服务.为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解2场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责.则馆方共有________种排班方式.

Let n be a positive integer. Initially, a bishop is placed in each square of the top row of a 2n×2n chessboard; those bishops are numbered from 1 to 2n ,from left to right. A jump is a simultaneous move made by all bishops such that the following conditions are satisfied:each bishop moves diagonally, in a straight line, some number of squares, andat the end of the jump, the bishops all stand in different squares of the same row.Find the total number of permutations σ of the numbers 1,2,⋯,2n with the following property: There exists a sequence of jumps such that all bishops end up on the bottom row arranged in the order σ(1),σ(2),⋯,σ(2n ), from left to right.【译】设n是正整数.最开始在一个2n×2n的方格棋盘上的第一行的每个小方格内均放置一枚“象”，这些“象”从左到右依次编号：1,2,⋯,2n.定义一次“跳跃”操作为同时移动所有的“象”并满足如下条件：每一枚“象”可沿对角线方向移动任意方格；在这次“跳跃”操作结束时，所有的“象”恰在同一行的不同方格.求满足下列条件的数1,2,⋯,2n的排列σ的总个数：存在一系列的“跳跃”操作，使得结束时所有的“象”都在棋盘的最后一行，并且从左到右编号依次为：σ(1),σ(2),⋯,σ(2n ).

设 A 是一个三阶方阵，其元素为 1,2,…,9，且满足每行元素从左到右递增，每列元素从上到下递增，则满足条件的 A 有______个.

计数原理

在(1+x)n之展开式中,求其各项系数之平方之和.

有一元票，二元票，十元票各三张，问可付出若干种不同款额？

若|x|<1,m为正整数，试示(1-x)-m可以展开作c0+c1x+c2x2+⋯之形式，求ck之值，且证明，且证明c0+c1+⋯+ck=(m+k)!/m!k!.

以归纳法证明二项式定理(a+b)n=an+nan-1 b+⋯+n(n-1)⋯(n-r+1)/r! an-r br+⋯+bn

若(1+x)8展开式中，中央三项成等差级数，则x值为何？

某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有【】种.

(2x-1/x)5的展开式中x的系数为【】

的展开式中 x3y3 的系数为【】

4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名学生, 则不同的安排方法有______种

(x2 + 2/x)6 的展开式中常数项是 ______(用数字作答).