高中数学-高考试题(北京市 2023年二项式定理)

单项选择（2023年北京市）

(2x-1/x)⁵的展开式中x的系数为【】

A、-80

B、-40

C、40

D、80

答案解析

D

【解析】

通项T_r+1=C₅^r (2x)^5-r (-1/x)^r=(-1)^r 2^5-r C₅^r x^5-2r，

令5-2r=1得r=2，

所以x的系数为(-1)² 2^5-2 C₅²=80.

讨论

高中数学

下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是【】

已知向量a→,b→满足a→+b→=(2,3),a→-b→=(-2,1)，则|a→ |²-|b→ |²=【】

在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3)，则z的共轭复数z ̅=【】

已知集合M={x│x+2≥0},N={x|x-1<0}，则M∩N=【】

设ABC是一个正三角形.点A1,B1,C1在三角形ABC的内部，且满足A1 B=A1 C,B1 A=B1 C,C1 A=C1 B及∠BA1 C+∠CB1A+∠AC1 B=480°.设直线BC1与CB1交于点A2，AC1与A1 C交于B2，AB1与A1 B交于C2.证明：若三角形A1 B1 C1的三边长度两两不等，则三角形AA1 A2,BB1 B2,CC1 C2的外接圆都经过两个公共点.

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2，…,n,从上到下的第i行恰有个圆，且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内，忍者路径是指一串由n个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

设x1,x2,⋯,x2023为两两不等的正实数，对任意一个n=1,2,⋯,2023，an=都是一个整数.证明：a2023≥3034.

给定整数k≥2.求所有无穷正整数数列a1,a2,⋯,使得存在多项式P(x)=xk+ck-1 xk-1+⋯+c1 x+c0其中c0,c1,⋯,ck-1是非负整数，满足P(an )=an+1 an+2⋯an+k对任意正整数n成立.

在锐角三角形ABC中，AB<AC.设Ω为三角形ABC的外接圆.点S是Ω上包含点A的弧BC的中点.过点A作垂直于BC的直线与BS交于点D,与圆Ω交于另一点E,E≠A.过点D且平行于BC 的直线与直线BE交于点L.记ω为三角形BDL的外接圆.设ω与Ω交于另一点P,P≠B.证明：ω在点P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的内角平分线上.

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property：if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文：设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数，若对任意1≤i≤k-2，有di |di+1+di+2，求n.

计数原理

有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有【】

在(3 - x)7的展开式中,x5的系数是________.(用数字作答)

在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是【】

正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有________个(用数字作答).

四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有【】

已知的展开式中x3的系数为9/4，常数a的值为________.

3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有【】

(x+2)10 (x2-1)的展开式中x10的系数是________.

若(2x+)4 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4，则(a0 + a2 + a4 )2 - (a1 + a3 )2的值为【】

某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要, 软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有【】

二项式定理

在二项式(x-1)11的展开式中,系数最小的项的系数为________.(结果用数值表示)

在代数(4x2 - 2x - 5)(1+1/x2)5的展开式中，常数项为______.

已知二项式(x+a)5展开中，x2项的系数为80，则a=__________.

在(2x3+1/x)6的展开式中，x6的系数是__________.

已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1 x3+a2 x2+a3 x+a4，则a1=________，a2+a3+a4=________.

数码a1,a2,a3,⋯,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为【】.

(1-y/x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．

已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4+a5 x5，则a2=__________，a1+a2+a3+a4+a5=___________．

二项式(3+x)n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n=________.

(x2-1/2x)9展开式中x9的系数是__________.