高考题2020年江苏省( )

设 {an} 是公差为 d 的等差数列, {bn} 是公比为 q 的等比数列. 已知 {an + bn} 的前 n 项和为 Sn = n2 − n + 2n − 1 (n ∈ N), 则 d + q 的值是______.

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高考题2020年浙江省( )

已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N).

(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;

(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N.

(I) 由 b1 + b2 = 6b3 得 1 + q = 6q2, 解得 q=1/2 . 由 cn+1 = 4cn 得 cn = 4n−1. 由 an+1 − an = 4n−1

an=a1+1+4+⋯+4n-2=(4n-1+2)/3 .

(II) 由cn+1=bn/bn+2 cn 得 cn=(b1b2c1)/(bnbn+1)=(1+d)/d (1/bn -1/bn+1 ) .所以

c1+c2+c3+⋯+cn=(1+d)/d (1-1/bn+1) .

由 b1 = 1, d > 0 得 bn+1 > 0, 因此c1+c2+c3+⋯+cn<1+1/d , n∈ N.

高考题2020年浙江省( )

我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题, 如数列 {n(n+1)/2} 就是二阶等差数列,数列{n(n+1)/2} (n ∈ N) 的前 3 项和是________.

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高考题2020年浙江省( )

已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 公差 d≠ 0, a1/d ⩽ 1. 记 b1 = S2, bn+1 = Sn+2 − S2n, n ∈ N, 下列不可能成立的是【 】

A、2a4 = a2 + a6

B、2b4 = b2 + b6

C、=a2 + a8

D、= b2 + b8

2b4 = b2 + b6

高考题2020年上海市( )

已知有限数列 {an} 项数为 m, 若其满足: |a1 − a2| ⩽ |a1 − a3| ⩽ · · · ⩽ |a1 − am|, 则称数列 {an} 满足性质 P .

(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;

(2) 已知 a1 = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;

(3) 若 an 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, bk = ak+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {an}, {bn} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {an}.

(1) 对于第一个数列有 |2 − 3| = 1, |5 − 3| = 2, |1 − 3| = 2, 满足题意, 所以数列 3, 2, 5, 1 具有性质 P .

对于第二个数列有 |3 − 4| = 1, |2 − 4| = 2, |5 − 4| = 1, 不满足题意, 所以数列 4, 3, 2, 5, 1 不具有性质 P .

(2) 当 q > 0 时, 明显具有性质 P .

由题意得 |qn − 1| ⩾ |qn−1 − 1 |, n ∈ {2, 3, · · · , 9}. 两边平方得 qn − 2qn + 1 ⩾ q2n−2 − 2qn−1 + 1, 整理得

(q − 1)qn−1[qn−1(q + 1) − 2] ⩾ 0.

当 −1 ⩽ q < 0 时, qn−1[qn−1(q + 1) − 2] ⩽ 0.

当 n 为奇数时, qn−1(q + 1) − 2 ⩽ 0, 很明显成立; 当 n 为偶数时, qn−1(q + 1) − 2 ⩾ 0, 很明显不成立.

所以, 当 −1 ⩽ q < 0 时, 矛盾, 舍去.

当 q < −1 时, qn−1[qn−1(q + 1) − 2] ⩽ 0.

当 n 为奇数时, qn−1(q + 1) − 2 ⩽ 0, 很明显成立; 当 n 为偶数时,要使 qn−1(q + 1) − 2 ⩾ 0 恒成立.

所以, 等价于 n = 2 时, q(q + 1) − 2 ⩾ 0, (q + 2)(q − 1) ⩾ 0. 所以 q ⩽ −2 或 q ⩾ 1, 所以取 q ⩽ −2 .

综上, q ∈ (−∞, −2] ∪ (0, +∞).

(3) 设 a1 = p, p ∈ {3, 4, · · · , m − 3, m − 2}.

因为 a1 = p, a2 可以取 p − 1 或 p + 1, a3 可以取 p − 2 或 p + 2.

如果 a2 或 a3 取了 p − 3 或 p + 3, 将使 {an} 不满足性质 P . 所以, {an} 的前五项有以下组合:

① a1 = p, a2 = p − 1, a3 = p + 1, a4 = p − 2, a5 = p + 2;

② a1 = p, a2 = p − 1, a3 = p + 1, a4 = p + 2, a5 = p − 2;

③ a1 = p, a2 = p + 1, a3 = p − 1, a4 = p − 2, a5 = p + 2;

④ a1 = p, a2 = p + 1, a3 = p − 1, a4 = p + 2, a5 = p − 2.

对于 ①, b1 = p − 1, b2 − b1 = 2, b3 − b1 = 1, 与 {bn} 满足性质 P 矛盾, 舍去;

对于 ②, b1 = p − 1, b2 − b1 = 2, b3 − b1 = 3, b4 − b1 = 2 与 {bn} 满足性质 P 矛盾, 舍去;

对于 ③, b1 = p + 1, b2 − b1 = 2, b3 − b1 = 3, b4 − b1 = 1 与 {bn} 满足性质 P 矛盾, 舍去;

对于 ④, b1 = p + 1, b2 − b1 = 2, b3 − b1 = 1, 与 {bn} 满足性质 P 矛盾, 舍去.

所以 p ∈ {3, 4, · · · , m − 3, m − 2}, 均不能同时使 {an} 、 {bn} 都具有性质 P .

当 p = 1 时,有数列 {an} : 1, 2, 3, · · · , m − 1, m 满足题意;

当 p = m 时,有数列 {an} : m, m − 1, · · · , 3, 2, 1 满足题意;

当 p = 2 时,有数列 {an} : 2, 1, 3, · · · , m − 1, m 满足题意;

当 p = m 时,有数列 {an} : m − 1, m, m − 2, m − 3, · · · , 3, 2, 1 满足题意.

所以, 满足题意的数列只有上面四种.