问答题(2023年7月国际数学奥林匹克

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property:

if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.

译文:设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数,若对任意1≤i≤k-2,有di |di+1+di+2,求n.

答案解析

∵n是合数,∴k≥3.先证:d2 |di,i=2,3,⋯,k.∵di |dk (i=1,2,3,⋯,k),且dk-2 |dk-1+dk,∴dk-2 |dk-1,又∵d2∙dk-3=d3∙dk-2=n,∴n/d3 |n/d2 ,∴d2 |d3,又∵d2 |d3+d4,∴d2 |d4.同理推得:d2 |d5,⋯,d2 | dk,即d2 |di,i=2,3...

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讨论

已知函数f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²),若x=0是f(x)的极大值点,求α的取值范围.

证明:当0<x<1时,x-x²<sinx<x.

已知双曲线C的中心坐标为原点,左焦点为(-2√5,0),离心率为√5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.

如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥AD;(2)点F满足(EF)→=(DA)→,求二面角D-AB-F的正弦值.

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值。

设{an}为等差数列,bn=,记Sn,Tn分别为{an },{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通项公式(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为√3,D为BC的中点,且AD=1.(1)若∠ADC=π/3,求tanB;(2)若b²+c²=8,求b,c.

已知函数f(x)=sin⁡(ωx+φ),如图A,B是直线y=1/2与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π/6,则f(π)=________.

已知直线l:x-my+1=0与⨀C:(x-1)²+y²=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为8/5”的m的一个值______.

底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为______.