单项选择(2021年北京市

在复平面内,复数z满足(1-i)·z=2,则z=【 】

A、1

B、i

C、1-i

D、1+i

答案解析

D

讨论

已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=【 】

设整数m≥2.设集合A由有限个整数(不一定为正)构成,且B1,B2,…,Bm是A的子集.假设对任意k=1,2,…,m,Bk中所有元素之和为mk.证明:A包含至少m/2个元素.

两只松鼠B和J为过冬收集了2021枚核桃. J将核桃依次编号为1到2021,并在它们最喜欢的树周围挖了一圈共2021个小坑.第二天早上, J发现B已经在每个小坑里放入了一枚核桃,但并未注意编号.不开心的J决定用2021次操作来改变这些核桃的位置.在第k次操作中把与第k号核桃相邻的两枚核桃交换位置.证明:存在某个λ,使得在第k次操作中, J交换了两枚编号为a和b的核桃,且a<k<b.

圆Γ的圆心为I.凸四边形ABCD满足:线段AB,BC,CD和DA都与Γ相切.设Ω是三角形AIC的外接圆. BA往A方向的延长线交Ω于点X,BC往C方向的延长线交Ω于点Z,AD往D方向的延长线交Ω于点Y,CD往D方向的延长线交Ω于点T.证明:AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.

设D是锐角三角形ABC(AB>AC)内部一点,使得∠DAB=∠CAD.线段AC上的点E满足∠ADE=∠BCD,线段AB上的点F满足∠FDA=∠DBC,且直线AC上的点X满足CX=BX.设O1和O2分别为三角形ADC和三角形EXD的外心.证明:直线BC,EF和O1O2共点.

对任意实数x1,…,xn,证明下述不等式成立:≤.

设整数n≥100.伊凡把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上.然后他将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明:至少有一堆中包含两张卡片,使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

已知函数f(x)=x3 - x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.

设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=nan/3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前和n项和.证明:Tn<Sn/2.

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数, i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z ̅0∙ z ̅ ,|w|=2|z|.(I)试求m的值,并分别写出x'和y'用x,y表示的关系式.(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标, (x',y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于【 】

已知 i 是虚数单位, 则复数 z = (1 + i)(2 − i) 的实部是______.

用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.

证明:对于任意实数t,复数z=+i的模r=|z|适合r≤.

当实数t取什么值时,复数z=+i的辐角主值θ适合0≤θ≤π/4 ?

设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,且满足:(Ⅰ) Z1和Z1所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ (0<θ<π/2);(Ⅱ) △OZ1 Z2的面积为定值S.求△OZ1 Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.

在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【 】

在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图形是【 】