高中数学-竞赛试题(国际数学奥林匹克 2021年7月命题及其关系)

证明题（2021年7月国际数学奥林匹克）

设整数n≥100.伊凡把n,n+1,…,2n的每个数写在不同的卡片上.然后他将这n+1张卡片打乱顺序并分成两堆.证明：至少有一堆中包含两张卡片，使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

答案解析

取正整数k，使得2(k-1)2-4(k-1)<n≤2k2-4k，由n≥100可知k≥9.令x=2k2-4k,y=2k2+1,z=2k2+4k,则有n≤x<y<z，以下证明z≤2n.如果k=9，则100≤n≤2k2-4k=126，有z=198<200≤2n.如果k≥10,则2n-z>4(k-1...

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讨论

高中数学

已知函数f(x)=x3 - x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值.

设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan/3.已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前和n项和.证明：Tn<Sn/2.

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．(1) 证明：平面PAM⊥平面 PBD；(2) 若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD 的体积.

双曲线x2/4 - y2/5=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为______.

已知向量=(2,5),=(λ,4)，若//，则λ=_______.

设B是椭圆C:x2/5+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为【】

下列函数中最小值为4的是【】

在区间(0,1/2]随机取1个数，则取到的数小于1/3的概率为【】

cos2 π/12 - cos2 5π/12=【】

命题及其关系

已知a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面且a⊥α,b⊥β，则下列命题的假命题是【】

设有下列四个命题:p1 : 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2 : 过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3 : 若空间两条直线不相交, 则这两条直线平行.p4 : 若直线 l ⊂ 平面 α, 直线 m ⊥ 平面 α, 则 m ⊥ l.则下列命题中所有真命题的序号是__________.① p1 ∧ p4 ② p1 ∧ p2 ③ ¬p2 ∨ p3 ④ ¬p3 ∨ ¬p4

设a,b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是【】

已知m,l是直线，α,β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α,l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，且l⊥α,则α⊥β；⑤若m⊂α,l⊂β，且a//β，则m//l.其中正确的命题是序号是 ________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

关于函数f(x)=4 sin⁡(2x+π/3),x∈R，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1 - x2必是π的整倍数；②y=f(x)的表达式可改写为y=4 cos⁡(2x-π/6)；③y=f(x)的图像关于点(-π/6,0)对称；④y=f(x)的图像关于直线x=-π/6对称.其中正确的命题的序号是 ________，（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

α,β是两个不同的平面，m,n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________________________________________.

已知sin⁡α>sin⁡β，那么下列命题成立的是【】

命题A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥.命题A的等价命题B可以是:底面为正三角形,且____________________的三棱锥是正三棱锥.

设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ.给出下列三个命题:①若a//α,b//α,则a//b;②若a//α,a//β,则α//β;③若α⊥β,β⊥γ,则α//β.其中正确的个数是【】

下列命题中正确的命题是【】

逻辑与证明

A：四边形ABCD为平行四边形.B：四边形ABCD为矩形.则A是B的________条件.

A：a=3；B：|a|=3，则A是B的__________条件.

A：θ=150°；B：sinθ=1/2，则A是B的__________条件.

A：点(a,b)在圆x2+y2=R2上；B：a2+b2=R2，则A是B的__________条件.

三个数a,b,c不全为零的充要条件是【】

arccos(-x)大于arccosx的充要条件是【】

tanx=1是x=5π/4的【】

“x=2kπ+π/4（k∈Z）”是“tanx=1 ”成立的【】

设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的【】

已知E,F,G,H为空间中的四个点，设命题甲：点E,F,G,H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交.那么【】