高中数学-高考试题(全国统考 2001年复数的运算)

问答题（2001年全国统考）

已知复数z₁=i⁡(1-i)³.

(Ⅰ)求argz₁及|z₁|；

(Ⅱ)当复数z满足|z|=1，求|z - z₁|的最大值.

答案解析

(Ⅰ) z1=i⁡(1-i)3 将z1化为三角形式，得z1=2 (cos⁡7π/4+isin⁡7π/4 ),∴argz1=7π/4,|z1 |=2.(Ⅱ)设z=cosα+isinα,则z-z1=(cosα-2)+(s...

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讨论

高中数学

如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2. (I)求四棱锥S-ABCD的体积;(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.

圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为__________.

设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列，则q=________.

双曲线x2/9 - y2/16=1的两个焦点为F1,F2，点P在双曲线上.若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为________.

若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积是________.

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【】

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:①单向倾斜; ②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1,P2,P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则【】

设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题：①若f(x)单调递增, g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增, g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减, g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减, g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减;其中，正确的命题是【】

在正三棱锥ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为【】

若0<α<β<π/4,sin⁡α+cos⁡α=a,sin⁡β+cos⁡β=b，则【】

复数的运算

设复数z1 = 2 - i，z2 = 1 - 3i，则复数i/z1 + z2/5的虚部等于______.

复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是【】

设复数z=3cosθ+i∙sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.

在复平面内，把复数3-i对应的向量按顺序时针方向旋转π/3，所得向量对应的复数是【】

若 z = 1 + 2i+i3, 则|z| =【】

i 是虚数单位, 复数 (8-i)/(2+i) = ________.

若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·z ̅+z=_____.

已知ω=(-1-i)/2，求ω2+ω+1的值.

设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数.证明：(1)| z1+A||z2+A|=|A|2;(2) =||.

((1-i)/(1+i))2的值等于【】

数系与复数

当实数t取什么值时，复数z=+i的辐角主值θ适合0≤θ≤π/4 ?

设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两个动点，且满足：(Ⅰ) Z1和Z1所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ (0<θ<π/2);(Ⅱ) △OZ1 Z2的面积为定值S.求△OZ1 Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.

在下列各数中，已表示成三角形式的复数是【】

在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z-i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是【】

求复数-i的模和辐角的主值.

把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π/3，所得到的向量对应的复数是【】

复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3，点P对应的复数为z,(z-z1)/(z-z2 )的辐角主值为φ.当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求φ的最小值.

已知复数z=1+i，求复数(z2 - 3z + 6)/(z + 1)的模和辐角的主值.

已知z1,z2是两个给定的复数，且z1≠z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【】