高中数学-高考试题(新高考Ⅱ 2023年复平面)

单项选择（2023年新高考Ⅱ）

在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于【】

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

答案解析

A

【解析】

因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i²=6+8i，

所以复数所对应的点为(6,8)，位于第一象限.

讨论

复平面

用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.

设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2.求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两个动点，且满足：(Ⅰ) Z1和Z1所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ (0<θ<π/2);(Ⅱ) △OZ1 Z2的面积为定值S.求△OZ1 Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.

在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z-i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是【】

复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3，点P对应的复数为z,(z-z1)/(z-z2 )的辐角主值为φ.当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求φ的最小值.

已知z1,z2是两个给定的复数，且z1≠z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【】

在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点)，已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数, i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z ̅0∙ z ̅ ,|w|=2|z|.(I)试求m的值,并分别写出x'和y'用x,y表示的关系式.(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标, (x',y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = ______.

设复数 z1, z2 满足 |z1| = |z2| = 2, z1 + z2 = + i , 则 |z1 − z2| =______.

复数的运算

若z=1+i．则|iz+3z ̄|=【】

已知z=1-2i，且z+az ̄+b=0，其中a，b为实数，则【】

若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=【】

已知z=1+i（其中i为虚单位），则2z ̅=________.

已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.

设z是虚部不为零的复数.若(2+3z+4z2)/(2-3z+4z2)是实数，则|z|2的值为__________.

在复数范围内，方程z ̅-z2=i(z ̅+z2)的解的个数为__________.

若ω为1之两立方虚根之一，试示=3

问ai=?(i=√(-1))

(sinθ +icosθ)n = sinnθ +icosnθ.

数系与复数

设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则【】

已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则【】

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项求|z|.

设z是不为0的复数，若(z ̅ )2+1/z2 的实部和虚部均为整数，则|z|的值可能是【】

下面两个算式哪一个对？√(-4)∙√(-9)=2i∙3i=6i²=-6√(-4)∙√(-9)==√36=6

已知z=(1-i)/(2+2i)，则z-z ̅=【】

若 z = 1 +i，则|z2 −2z| =【】

若 z = 1 + 2i+i3, 则|z| =【】

新高考Ⅱ复数的运算

若(1 + i) = 1 − i, 则 z =【】