高中数学-高考试题(全国旧课程 2003年复数的概念)

问答题（2003年全国旧课程）

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项求|z|.

答案解析

设z=r(cos60°+isin60°)，则复数z的实部为r/2.∴z+z ̅=r,z∙z ̅=r2.由题设|z-1|2=|z|∙|z-2|，即(z-1)(z ̅-1)=|z|，∴r2-r+1=r，整...

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讨论

复数的概念

已知复数z=+i，则arg 1/z是【】

求下列等式里x和y之值：(3xi+2x)+(yi-4)=(2y+5i)-(3+xi).

若对一切θ∈R，复数z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为__________________.

设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则【】

已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则【】

在复平面内, 复数 z 对应的点的坐标是 (1, 2), 则 i · z =【】

已知 z = 1 − 2i, 则 |z| =______.

已知 a ∈ R, 若 a − 1 + (a − 2)i (i 为虚数单位) 是实数, 则 a =【】

已知 i 是虚数单位, 则复数 z = (1 + i)(2 − i) 的实部是______.

证明：对于任意实数t，复数z=+i的模r=|z|适合r≤.

数系与复数

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数, i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z ̅0∙ z ̅ ,|w|=2|z|.(I)试求m的值,并分别写出x'和y'用x,y表示的关系式.(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标, (x',y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

已知(1-i)2z=3+2i，则z=【】

设2(z+z ̅)+3(z - z ̅)=4+6i，则z=【】

设iz=4+3i，则z=【】

在复平面内，复数z满足(1-i)·z=2，则z=【】

z1=1+i,z2=2+3i，则z1+z2=__________.

设i是虚数单位，复数(9+2i)/(2+i)=__________.

新高考Ⅱ复数的运算

若(1 + i) = 1 − i, 则 z =【】

复数1/(1-3i) 的虚部是【】

等比数列

设 {an} 是等比数列, 且 a1 + a2 + a3 = 1, a2 + a3 + a4 = 2, 则 a6 + a7 + a8 =【】

记 Sn 为等比数列 {an} 的前 n 项和. 若 a5 − a3 = 12, a6 − a4 = 24, 则 Sn/an=【】

设等比数列 {an} 满足 a1 + a2 = 4, a3 − a1 = 8.(1) 求 {an} 的通项公式;(2) 记 Sn 为数列 {log3an} 的前 n 项和. 若 Sm + Sm+1 = Sm+3, 求 m.

如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出. (I)输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r0.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?[一对轧辊减薄率= (输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度) ÷输入该对的带钢厚度](Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600 mm.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点,,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk.为了便于检修,请计算L1 、L2 、L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变，且不考虑损耗).

已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1 - pcn}为等比数列，求常数p.

设{cn}，{bn}是公比不相等的两个比数列，cn =an+bn.证明数列{cn}不是等比数列.

在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a19-n (n<19,n∈N)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式____________成立.

设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列，则q=________.

设数列{an}是公比q>0的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn=7，则此数列的首项a1的取值范围是________.

记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2=4,S4=6，则S6=【】