高中数学-高考试题(全国统考 1983年等比数列)

问答题（1983年全国统考）

已知数列{a_n}的首项a₁=b(b≠0)，它的前n项的和S_n=a₁+a₂+⋯+a_n (n≥1)，并且S₁,S₂,⋯,S_n,⋯是一个等比数列，其公比为p(p≠0，且|p|<1).

(Ⅰ) 证明：a₂,a₃,⋯,a_n,⋯（即{a_n}从第2项起）是一个等比数列.

(Ⅱ) 设W_n=a₁ S₁+a₂ S₂+⋯+a_n S_n (n≥1)，求W_n（用b,p表示）.

答案解析

(Ⅰ) 证明：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1 pn-1=bpn-1 (n≥1).因为当n≥2时，Sn=a1+a2+⋯+an=Sn-1+an所以an=Sn-Sn-1=bpn-1-bpn-2=bpn-2 (p-1)(n≥2).从而an+1/an ==p(n≥2)，所以a2,a3,⋯,an,⋯是一个公比为p的等比数列.(Ⅱ)当n≥2时，(an+1Sn+1)/(anSn )==p...

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讨论

高中数学

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

当实数t取什么值时，复数z=+i的辐角主值θ适合0≤θ≤π/4 ?

证明：对于任意实数t，复数z=+i的模r=|z|适合r≤.

计算行列式（要求结果最简）：

一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学. 要从小组内选出3名代表，其中至少1名女同学，一共有多少种选法？

已知y=e-xsin2x，求微分dy.

在极坐标系内，方程ρ=5cosθ表示什么曲线？画出它的图形.

在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程y=-,x=-的图形，并写出它们交点的坐标.

设0.32,log20.3,20.3，这三个数之间的大小顺序是【】

等比数列

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

在公比为正数的等比数列{an}中，a2+a4=30,a4+a6=15/2，则a1的值为【】

有三数原成等比级数，其和为9/2.若第一数以2/3乘之，第二数以2/3乘之，第三数以16/27乘之，则成等差级数，问原三数各几何?

设数列{an}的前n项和为Sn.则a2,a3,a4,⋯为等比数列.(1) Sn+1>Sn,n=1,2,3,⋯(2) {Sn}是等比数列.

以三角形各边为直径作圆，试证任意两边上二圆公切线之长为第三边被内切圆切点所分两部分之比例中项.

记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5,S6=21S2，则S8=【】

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物林质量的“环权”，已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=______；数列{an}所有项的和为________.

设 {an} 是公比不为 1 的等比数列, a1 为 a2, a3 的等差中项.(1) 求 {an} 的公比;(2) 若 a1 = 1, 求数列 {nan} 的前 n 项和.

设 {an} 是等比数列, 且 a1 + a2 + a3 = 1, a2 + a3 + a4 = 2, 则 a6 + a7 + a8 =【】

数列

设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.

信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 X 所有可能的取值为 1, 2, … , n, 且 P (X = i) = pi >0 (i = 1, 2, …, n), =1, 定义 X 的信息熵 H(X) = −log2 pi.【】

将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.

已知 {an} 为等差数列, {bn} 为等比数列, a1 = b1 = 1, a5 = 5(a4 − a3), b5 = 4(b4 − b3).(I) 求 {an} 和 {bn} 的通项公式;(II) 记 {an} 的前 n 项和为 Sn, 求证: SnSn+2 < Sn+12 (n ∈ N∗);(III) 对任意的正整数 n, 设 cn = .求数列 {cn} 的前 2n 项和.

已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N∗).(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N∗.

某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm, 10dm×6dm,24dm×3dm,三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n次,那么 Sk=________dm2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n，写出b1,b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和.

数列{an}是递增的整数数列，且a1≥3,a1+a2+⋯+an=100，则n的最大值为【】

已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列；(ii)证明<2√2.

已知数列{an}满足a1=1,an+1= (n∈N* ).记{an}的前n项和为Sn，则【】