问答题(1999年全国统考

如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.

 

(I)输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r0.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?

[一对轧辊减薄率= (输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度) ÷输入该对的带钢厚度]

(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600 mm.若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk.为了便于检修,请计算L1 、L2 、L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗).

答案解析

(I)厚度为α的带钢经过减薄率均为r0的n对轧辊后厚度为α(1-r0 )n.为使输出带钢的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足α(1-r0 )n≤β,即(1-r0 )n≤β/α.由于(1-r0 )n>0,β/α>0,对上式两端取对数,得n lg⁡(1-r0 )≤lg⁡β/α,由于lg⁡(1-r0 )<0,所以n≥(lg⁡β-lg⁡α)/lg⁡(1-r0 ) .因此,至少需要安装不小于(lg⁡β-lg⁡α)/lg⁡(1...

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讨论

已知有限数列 {an} 项数为 m, 若其满足: |a1 − a2| ⩽ |a1 − a3| ⩽ · · · ⩽ |a1 − am|, 则称数列 {an} 满足性质 P .(1) 判断数列 3, 2, 5, 1 和数列 4, 3, 2, 5, 1 是否具有性质 P ;(2) 已知 a1 = 1, 公比为 q 的等比数列, 项数为 10, 具有性质 P , 求 q 的取值范围;(3) 若 an 是 1, 2, 3, · · · , m (m ⩾ 4) 的一个排列, bk = ak+1 (k = 1, 2, 3 · · · , m − 1), 数列 {an}, {bn} 都具有性质 P , 求所有满足条件的 {an}.

已知数列 {an}, {bn}, {cn} 中, a1 = b1 = c1 = 1, cn+1 = an+1 − an, cn+1=bn/bn+2 ∙cn (n ∈ N∗).(I) 若数列 {bn} 为等比数列, 且公比 q > 0, 且 b1 + b2 = 6b3, 求 q 的值及数列 {an} 的通项公式;(II) 若数列 {bn} 为等差数列, 且公差 d > 0, 证明: c1 + c2 + … + cn < 1 +1/d , n ∈ N∗.

试问数列:lg100,lg⁡(100sinπ/4),lg⁡(100sin2π/4),⋯,lg⁡(100sinn-1π/4),前多少项的和的值最大?并求出这大值(这里取lg2=0.301)

已知{an}是公差为2的等差数列,其前8项的和为64,{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4,b3-b2=48.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记cn=b2n+1/bn ,n∈N*(i)证明{cn2-c2n}是等比数列;(ii)证明<2√2.

己知数列{an}各项均为正数,其前n项和Sn满足an⋅Sn=9(n=1,2,⋯).给出下列四个结论:①{an}的第2项小于3; ②{an}为等比数列;③{an}为递减数列; ④{an}中存在小于1/100的项.其中所有正确结论的序号是__________.

已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-1/3 an2 (n∈N* ),则【 】

有相交之二直线 a 及 b,自 a 上之一点作 b 之垂线,复自其在 b 上之垂足向 a作垂线,更自第二个垂足作 b 之垂线,如此继续作成无数根垂线,设第一垂线之长为 7,第二垂线之长为 6,求此无数垂线长之和.

设a,b,c三数成调和级数,试证1/a+1/c+1/(a-b)+1/(c-b)=0.

问级数1-x/√1+x²/√2-x³/√3+⋯何时收敛?

试述无穷级数为收敛或发散之定义 (definition of convergence or divergence)并讨论普遍项 (general term) 如下之二无穷级数,何时为收?何时为发散?(1) Un=xn+1 [log⁡(n+1) ]q(log 表以e 为底之对数)(2) Un=xn (cosn⁡θ+cosn-1⁡θ sinθ+cosn-2⁡θ sin2⁡θ+⋯+sinn⁡θ )(0<θ<π/4)