高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2020年复数的运算)

单项选择（2020年新高考Ⅰ·文）

若 z = 1 + 2i+i³, 则|z| =【】

A、0

B、1

C、

D、2

答案解析

C

讨论

高中数学

已知集合 A = {x | x2 −3x−4 < 0},B = {−4,1,3,5}, 则 A∩B=【】

已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*)，求a2020的个位数.

已知x,y,z>0，判断s=x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) 是否存在最大值与最小值.

求19x+93y=4xy的整数解的组数.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

若f(x)=x5+px+q有有理根，且正整数p,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组.

正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.

已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.

在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数). 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcosθ−16ρsinθ + 3 = 0.(1) 当 k = 1 时, C1 是什么曲线?(2) 当 k = 4 时, 求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标.

已知函数 f(x) = ex + ax2 − x.(1) 当 a = 1 时, 讨论 f(x) 的单调性;(2) 当 x ⩾ 0 时, f(x) ⩾ x3 + 1, 求 a 的取值范围.

复数的运算

设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),ω=,已知|ω|=/3,argω<π/2,求θ.

复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是【】

设复数z=3cosθ+i∙sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.

已知(1-i)2z=3+2i，则z=【】

设2(z+z ̅)+3(z - z ̅)=4+6i，则z=【】

设iz=4+3i，则z=【】

z1=1+i,z2=2+3i，则z1+z2=__________.

已知a∈R,(1+ai)i=3+i，(i为虚单位)，则a=【】

求(1-2i)5的实部.

若z=1+i．则|iz+3z ̄|=【】

数系与复数

给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak.证明：至多有有限个k元整数组(n1,n2,⋯,nk)，满足n1,n2,⋯,nk互不相同，且a1∙n1 !+a2∙n2 !+⋯+ak∙nk !=0.

设整数n≥4.证明：若n整除2n-2，则(2n-2)/n是合数.

In the sequence 7,76,769,7692,76923,769230,… ,the nth term is given by the first n digits after the decimal point in the expansion of 10/13=0.7692307692⋯.Prove that of the first 60 terms of the sequence, at least 49 have three or more prime factors (repeated prime factors are allowed; for example, 76=2×2×19 has three prime factors).【译】在10/13=0.7692307692⋯的十进制表示中，由小数点后的前n位数构成数列：7,76,769,7692,76923,769230,… ,求证：在该数列的前60项中，至少有49项有三个或以上的素因子(包含重复的素因子，例如76=2×2×19有三个素因子).

Let m<n be positive integers. Start with n piles, each of m objects. Repeatedly carry out the following operation: choose two piles and remove n objects in total from the two piles. For which (m ,n) is it possible to empty all the piles?【译】设正整数m<n.起初一共有n 堆石子，每堆有 m块石子. 重复执行以下操作: 选择两堆石子，从这两堆中移除共n 块石子.问：对于怎样的 (m , n)，可以移除所有石子?

Consider an odd prime p and a positive integer N<50p. Let a1,a2,⋯,aN be a list of positive integers less than p such that any specific value occurs at most 51/100 N times and a1,a2,⋯,aN is not divisible by p. Prove that there exists a permutation b1,b2,⋯,bN of the a_i such that, for all k=1,2,⋯,N, the sum b1+b2+⋯+bk is not divisible by p.【译】已知奇素数p和正整数N<50p.设a1,a2,⋯,aN是一些小于p的正整数，同一数值至多出现51/100 N次，且a1+a2+⋯+aN不能被p整除.证明：存在a_i的一个排列：b1,b2,⋯,bN，使得对任意的k=1,2,⋯,N，都有b1+b2+⋯+bk不能被p整除.

Fix integers a and b greater than 1. For any positive integer n, let rn be the (non-negative) remainder that bn leaves upon division by an. Assume there exists a positive integer N such that rn<2n/n for all integers n≥N.Prove that a divides b.给定大于1的整数a和b.对任意的正整数n，记rn为bn除以an的非负余数.若存在正整数N，使得对任意的n≥N，都有rn<2n/n.证明：a整除b.

已知z=1-2i，且z+az ̄+b=0，其中a，b为实数，则【】

若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=【】

已知z=1+i（其中i为虚单位），则2z ̅=________.

已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.