填空题(2022年上海市

已知z=1+i(其中i为虚单位),则2z ̅=________.

答案解析

2-2i

【解析】

由z=1+i得z ̅=1-i,

∴2z ̅=2-2i.

讨论

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b).证明:(ⅰ)若a>e,则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1);(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x_3,则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 ).(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)

如图,已知椭圆x2/12+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,1/2)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-1/2 x+3于C,D两点. (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.

已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N* ).(1)若S4-2a2 a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.

如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点. (1)证明:FN⊥AD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=√5 c,cos⁡C=3/5.(1)求sin⁡A的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.

设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则(PA1)2+(PA2)2+⋯+(PA8)2的取值范围是_______.

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为b/4a的直线交双曲线于点A(x1,y1 ),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2 )且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是_________.

现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字 最小值为ξ,则 P(ξ=2)=__________,E(ξ)= _________.

已知函数f(x)=,则f(f(1/2))=________;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是_________.

若3sin⁡α-sin⁡β=√10,α+β=π/2,则sin⁡α=__________,cos⁡2β=_________.