高中数学-高考试题(全国统考 1984年复平面)

计算题（1984年全国统考）

设p≠0，实系数一元二次方程z²-2pz+q=0有两个虚数根z₁,z₂.再设z₁,z₂在复平面内的对应点是Z₁,Z₂.求以Z₁,Z₂为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

答案解析

因为p,q为实数，p≠0,z_1,z_2为虚数，所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数，知z1,z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的...

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讨论

高中数学

设c,d,x为实数，c≠0,x为未知数.讨论方程 = -1在什么情况下有解.有解时求出它的解.

已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.

画出极坐标方程(ρ-2)(θ-π/4)=0(ρ>0)的曲线.

设,画出函数y=H(x-1)的图像.

要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相信，问：有多少种不同的排法？（只要写出式子，不必计算）

全国统考数列与推理

求(|x|+1/|x| -2)3的展开式中的常数项.

求方程(sinx+cosx)2=1/2的解集.

函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？

已知圆柱的侧面展开图是连长为2与4的矩形，求圆柱的体积.

复平面

在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于【】

用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.

在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点)，已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.

已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数, i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=z ̅0∙ z ̅ ,|w|=2|z|.(I)试求m的值,并分别写出x'和y'用x,y表示的关系式.(Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标, (x',y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程.(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.

已知z1,z2是两个给定的复数，且z1≠z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【】

在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z-i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是【】

复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3，点P对应的复数为z,(z-z1)/(z-z2 )的辐角主值为φ.当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求φ的最小值.

设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两个动点，且满足：(Ⅰ) Z1和Z1所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ (0<θ<π/2);(Ⅱ) △OZ1 Z2的面积为定值S.求△OZ1 Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.

试问数列：lg100,lg⁡(100sinπ/4),lg⁡(100sin2π/4),⋯,lg⁡(100sinn-1π/4)，前多少项的和的值最大？并求出这大值（这里取lg2=0.301）

在 A , B , C , D 四位候选人中：1．如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．2．如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．

数系与复数

若z=-1+√3 i，则z/(zz ̄-1)=【】

若z=1+i．则|iz+3z ̄|=【】

已知z=1-2i，且z+az ̄+b=0，其中a，b为实数，则【】

若复数z满足i⋅z=3-4i，则|z|=【】

已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则【】

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项求|z|.

已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.

设z是虚部不为零的复数.若(2+3z+4z2)/(2-3z+4z2)是实数，则|z|2的值为__________.

在复数范围内，方程z ̅-z2=i(z ̅+z2)的解的个数为__________.

设z是不为0的复数，若(z ̅ )2+1/z2 的实部和虚部均为整数，则|z|的值可能是【】