高中数学-高考试题(浙江省 2022年空间平面及关系)

问答题（2022年浙江省）

如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．

（1）证明：FN⊥AD；

（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

答案解析

（1）过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G,H． ∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°，由平面几何知识易知，DG=AH=2,∠EFC=∠DCF=∠DCB=∠ABC=90°，则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，∴在Rt△EGD和Rt△DHA，EG=DH=2√3，∵D⊥CF,DC⊥CB,且CF∩CB=C，∴DC⊥平面BCF,∠BCF是二面角F-DC-B的平面角，则∠BCF=60°，∴△BCF是正三角形，由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中点，∴FN⊥BC，又DC⊥平面BCF，FN⊂平面BCF，可得FN⊥CD，而BC∩CD=C，∴FN⊥平面...

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讨论

空间解析几何

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素，安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为√14/5，则该五面体的所有棱长之和为【】

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3. (Ⅰ)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；(Ⅱ)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为√42/7，求AD.

如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, AE 为底面直径, AE = AD. △ABC 是底面的内接正三角形,P 为 DO 上一点, PO = DO.(1) 证明: PA ⊥ 平面 PBC;(2) 求二面角 B − PC − E 的余弦值.

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 △A1B1C1 的中心, 若 AO = AB = 6, AO//平面 EB1C1F , 且 ∠MPN = π/3 , 求四棱锥 B −EB1C1F 的体积.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 当 AB = BC 时, EF ⊥ AC;(2) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

如图, 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, E 为 BB1 的中点.(I) 求证: BC1 // 平面 AD1E;(II) 求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值.

如图, 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, CC1⊥平面 ABC, AC ⊥ BC, AC = BC = 2, CC1 = 3, 点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上, 且 AD = 1, CE = 2, M 为棱 A1B1 的中点.(I) 求证: C1M ⊥ B1D;(II) 求二面角 B − B1E − D 的正弦值;(III) 求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值.

在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

空间直线及关系

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC垂直于平面PBC.

如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是【】

如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A，B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴oo'之间的距离等于______.

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是【】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为【】

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.

在直棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=π/2,AB=AC=AA1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的不动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为【】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则【】

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1，E，F分别是棱BC,A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则【】

如图, 已知三棱柱 ABC − A1B1C1 的底面是正三角形, 侧面 BB1C1C 是矩形, M, N 分别为 BC, B1C1 的中点, P 为 AM 上一点, 过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E, 交 AC 于 F .(1) 证明: AA1 // MN, 且平面 A1AMN ⊥ 面 EB1C1F ;(2) 设 O 为 A1B1C1 的中心, 若 AO // 面 EB1C1F , 且 AO = AB, 求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值.

空间平面及关系

直升飞机上一点 P 在地平面 M 上的正射影是 A ．从P看地平面上一物体 B （不同于 A ) ，直线P B 垂直于飞机窗玻璃所在的平面 N（如图）．证明：平面 N 必与平面 M 相交，且交线 l 垂直于 AB.

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为面AC内的一点，Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上，又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ(0°<θ<90°)，线段PM的长为a.求线段PQ的长.

如图，已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么【】.

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值.

如图，平面α,β相交于直线MN，点A在平面α上，点B在平面β上，点C在直线MN上，∠ACM=∠BCN=45°，A-MN-B是60°的二面角，AC=1. 求：(1) 点A到平面β的距离；(2) 二面角A-BC-M的大小（用反三角函数表示）.

如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

如图，在正三角棱柱ABC-A1 B1 C1中，E∈BB1，截面A1 EC⊥侧面AC1 （Ⅰ）求证: BE=EB1;（Ⅱ）若AA1=A1 B1，求平面A1 EC与平面A1 B1 C1所成二面角（锐角）的度数. 注意：在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).（Ⅰ）证明:（如图）在截面A1 EC内，过E作EG⊥A1 C,G是垂足. ①∵_________________________________________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC.②∵_________________________________________.∴BF⊥侧面AC1；得BF//EG,BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG.③∵_________________________________________∴BF//EG四边形BEGF是平行四边形BF=EG.④∵_________________________________________∴FG//AA1,ΔAA1 C∽ΔFGC.⑤∵_________________________________________∴FG=1/2 AA1=1/2 BB1,即BE=1/2 BB1故BE=EB1.（Ⅱ）解：

如图，已知正四棱锥ABCD-A1 B1 C1 D1，点E在棱D1 D上，截面EAC//D1 B，且EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=a. (Ⅰ)求截面EAC的面积；(Ⅱ)求异面直线A1 B1与AC之间的距离；(Ⅲ)求三棱锥B1-EAC的体积.

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明：C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.