高中数学-竞赛试题(罗马尼亚 2024年数论)

证明题（2024年罗马尼亚）

Consider an odd prime p and a positive integer N<50p. Let a₁,a₂,⋯,a_N be a list of positive integers less than p such that any specific value occurs at most 51/100 N times and a₁,a₂,⋯,a_N is not divisible by p. Prove that there exists a permutation b₁,b₂,⋯,b_N of the a_i such that, for all k=1,2,⋯,N, the sum b₁+b₂+⋯+b_k is not divisible by p.

【译】已知奇素数p和正整数N<50p.设a₁,a₂,⋯,a_N是一些小于p的正整数，同一数值至多出现51/100 N次，且a₁+a₂+⋯+a_N不能被p整除.

证明：存在a_i的一个排列：b₁,b₂,⋯,b_N，使得对任意的k=1,2,⋯,N，都有b₁+b₂+⋯+b_k不能被p整除.

答案解析

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讨论

高中数学

Let n be a positive integer. Initially, a bishop is placed in each square of the top row of a 2n×2n chessboard; those bishops are numbered from 1 to 2n ,from left to right. A jump is a simultaneous move made by all bishops such that the following conditions are satisfied:each bishop moves diagonally, in a straight line, some number of squares, andat the end of the jump, the bishops all stand in different squares of the same row.Find the total number of permutations σ of the numbers 1,2,⋯,2n with the following property: There exists a sequence of jumps such that all bishops end up on the bottom row arranged in the order σ(1),σ(2),⋯,σ(2n ), from left to right.【译】设n是正整数.最开始在一个2n×2n的方格棋盘上的第一行的每个小方格内均放置一枚“象”，这些“象”从左到右依次编号：1,2,⋯,2n.定义一次“跳跃”操作为同时移动所有的“象”并满足如下条件：每一枚“象”可沿对角线方向移动任意方格；在这次“跳跃”操作结束时，所有的“象”恰在同一行的不同方格.求满足下列条件的数1,2,⋯,2n的排列σ的总个数：存在一系列的“跳跃”操作，使得结束时所有的“象”都在棋盘的最后一行，并且从左到右编号依次为：σ(1),σ(2),⋯,σ(2n ).

Let m<n be positive integers. Start with n piles, each of m objects. Repeatedly carry out the following operation: choose two piles and remove n objects in total from the two piles. For which (m ,n) is it possible to empty all the piles?【译】设正整数m<n.起初一共有n 堆石子，每堆有 m块石子. 重复执行以下操作: 选择两堆石子，从这两堆中移除共n 块石子.问：对于怎样的 (m , n)，可以移除所有石子?

Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC. Let P be the intersection of the tangents to the circumcircle of ABC at B and C. The line through the midpoints of line segments PB and PC meets lines AB and AC at X and Y respectively.Prove that the quadrilateral AXPY is cyclic.【译】在锐角三角形ABC中，AB>AC，△ABC的外接圆在点B和点C处的切线交于点P.一条同时过PB和PC中点的直线与AB,AC分别交于点X,Y.求证：A,X,P,Y四点共圆.

Find all functions f from the integers to the integers such that for all integers n：2f(f(n))=5f(n)-2n【译】求所有函数f:z→z，使得对任意整数n有：2f(f(n))=5f(n)-2n

In the sequence 7,76,769,7692,76923,769230,… ,the nth term is given by the first n digits after the decimal point in the expansion of 10/13=0.7692307692⋯.Prove that of the first 60 terms of the sequence, at least 49 have three or more prime factors (repeated prime factors are allowed; for example, 76=2×2×19 has three prime factors).【译】在10/13=0.7692307692⋯的十进制表示中，由小数点后的前n位数构成数列：7,76,769,7692,76923,769230,… ,求证：在该数列的前60项中，至少有49项有三个或以上的素因子(包含重复的素因子，例如76=2×2×19有三个素因子).

设S={z∈C||z|=1}.求所有函数f:S→S，使得f为连续单射,且对任意z1,z2∈S，有f(z1 z2 )=f(z1)f(z2).

复矩阵A与A的任意正整数次常相似.(1)证明:A的特征值为0或 1;(2)求A的若当标准型.

给定素数p和正整数 n(n≥2).A为n个p阶循环群的直和.问:至少需要几个A的真子群,才能使他们的并集能覆盖A？

丘成桐女子赛数列极限

求所有的n∈N*，使得存在n阶实矩阵A,B，满足对任意的n维非零实向量v,Av,Bv线性无关.

数论

表通常十进数 345 为二进数

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)

设有理数r=p/q∈(0,1)，其中p,q为互素的正整数，且pq整除3600.这样的有理数r的个数为________.

数系与复数

复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3，点P对应的复数为z,(z-z1)/(z-z2 )的辐角主值为φ.当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求φ的最小值.

已知z1,z2是两个给定的复数，且z1≠z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【】

设复数z1 = 2 - i，z2 = 1 - 3i，则复数i/z1 + z2/5的虚部等于______.

已知z∈C，解方程zz ̅ - 3iz ̅ = 1+3i.

当z=-(1-i)/时，z100 + z50 + 1的值等于【】

设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),ω=,已知|ω|=/3,argω<π/2,求θ.

如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是【】

已知z=1+i.(Ⅰ)设ω=z2+3z ̅-4，求ω的三角形式；(Ⅱ)如果=1-i，求实数a,b的值.

在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点)，已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.

全国统考复数的运算