高中数学-竞赛试题(北京市 2023年数论)

填空题（2023年北京市）

使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.

答案解析

425

【解析】

解答过程见word版

讨论

高中数学

已知在△ABC中，a=2b,cosB=2√2/3，则sin⁡(A-B)/2+sin⁡C/2=__________.

设实数x,y满足，则x+y=__________.

已知向量|a➝ |=1,|b➝ |=2，且a➝,b➝的夹角为120°.若a➝+tb➝与ta➝+b➝的夹角为锐角，则t的取值范围是__________.

已知集合A={1,2,3}，映射f:A→A，且满足对任意x∈A，有f(f(x))≥x，且这样的f有________个.

已知函数f(x)=sinωx+sin2x，其中ω∈N+,ω≤2023.若f(x)<2恒成立，则满足题设的常数ω的个数为________.

S是集合{1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).

如图，∠ABC=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE，垂足分别是D,E.已知AD=8,BE=3，则DE=______.

已知数列{an },{bn}的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m},{an },{bn}的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0.对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义rk=max⁡{i|Bi≤Ai,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中maxM表示数集M中最大的数.(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；(2)若a1≥b1,2rj≤rj+1+rj-1,j=1,2,⋯,m-1，求rn；(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t，使得Ap+Bt=Aq+Bs.

设函数f(x)=x-x³eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值；(2)设g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(3)求f(x)极值点的个数.

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

数论

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property：if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文：设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数，若对任意1≤i≤k-2，有di |di+1+di+2，求n.

设x1,x2,⋯,x2023为两两不等的正实数，对任意一个n=1,2,⋯,2023，an=都是一个整数.证明：a2023≥3034.

已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).

求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

若整数m=paqbrc，其p,q,r为质数(primes), 试求m所有约数之个数.

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

表通常十进数 345 为二进数

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.

数系与复数

在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3)，则z的共轭复数z ̅=【】

全国统考复数的运算

已知复数z=/2 - 1/2 i,ω=/2+/2 i.复数,z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P,Q.证明△OPQ是在等腰直角三角形（其中O为原点）.

复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是【】

设复数z=3cosθ+i∙sinθ.求函数y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.

在复平面内，把复数3-i对应的向量按顺序时针方向旋转π/3，所得向量对应的复数是【】

已知复数z1=i⁡(1-i)3.(Ⅰ)求argz1及|z1|；(Ⅱ)当复数z满足|z|=1，求|z - z1|的最大值.

若复数z=+ i，则arg 1/z等于______.

已知z=2-i，则z(z ̅+i)=【】

已知(1-i)2z=3+2i，则z=【】