高中数学-竞赛试题(北京市 2023年三角形)

填空题（2023年北京市）

如图，∠ABC=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE，垂足分别是D,E.已知AD=8,BE=3，则DE=______.

答案解析

5

【解析】

易知△ACD≌△CBE，

故CE=AD=8,CD=BE=3,

从而DE=CE-CD=5.

讨论

高中数学

已知数列{an },{bn}的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m},{an },{bn}的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0.对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义rk=max⁡{i|Bi≤Ai,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中maxM表示数集M中最大的数.(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；(2)若a1≥b1,2rj≤rj+1+rj-1,j=1,2,⋯,m-1，求rn；(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t，使得Ap+Bt=Aq+Bs.

设函数f(x)=x-x³eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值；(2)设g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(3)求f(x)极值点的个数.

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大(结论不要求证明).

设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω>0,|φ|<π/2).(1)若f(0)=-√3/2，求φ的值.(2)已知f(x)在区间[-π/3,2π/3]上单调递增，f(2π/3)=1，再从条件①、②、③中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值.条件①：f(π/3)=√2；条件②：f(-π/3)=-1；条件③：f(x)在区间[-π/2,-π/3]上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3. (1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PC-B的大小.

设a>0，函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1,f(x1 ))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3,f(x3 ))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0,1/2].其中所有正确结论的序号是____________.

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物林质量的“环权”，已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=______；数列{an}所有项的和为________.

已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为α=______，β=______.

已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为√2，则C的方程为____________.

三角形

设 △ABC 的重心为 G，BC、CA 的中点为 E、F，设 △ABC 的面积为 K，求△GEF 的面积.

在 △ABC 内作 AE 及 BD，假设 ∠CAE < ∠CBD，∠BAE < ∠ABD，求证 AE> BD.

△ABC 和△A'B'C'中，∠A >∠A’,则 BC >B'C'.

自 △ABC 的顶点 A 引 ∠B 的内外角平分线之垂线，则此两垂足与 AB，AC两边的中点共线.求证之.

设ABC是一个正三角形.点A1,B1,C1在三角形ABC的内部，且满足A1 B=A1 C,B1 A=B1 C,C1 A=C1 B及∠BA1 C+∠CB1A+∠AC1 B=480°.设直线BC1与CB1交于点A2，AC1与A1 C交于B2，AB1与A1 B交于C2.证明：若三角形A1 B1 C1的三边长度两两不等，则三角形AA1 A2,BB1 B2,CC1 C2的外接圆都经过两个公共点.

在锐角三角形ABC中，AB<AC.设Ω为三角形ABC的外接圆.点S是Ω上包含点A的弧BC的中点.过点A作垂直于BC的直线与BS交于点D,与圆Ω交于另一点E,E≠A.过点D且平行于BC 的直线与直线BE交于点L.记ω为三角形BDL的外接圆.设ω与Ω交于另一点P,P≠B.证明：ω在点P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的内角平分线上.

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.设P是凸四边形ABCD内部一点，且满足：∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明：∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线，三线共点。（波兰供题）

已知△ABC三内角的大小成等差数列，tanAtanC=2+，求角A，B，C的大小；又知顶点C的对边c上的高等于4，求三角形各边a，b，c的长.（提示：必要时可验证(1+)2=4+2）

叙述并证明勾股定理.

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ADC,△CBD,△ABC的面积成等比数列，求∠B(用反三角函数表示).

平面几何

已知角 A 及角内一点 P，求作过 P 点的直线，使其在 A 角内之部分被 P 点平分.

两圆面积比等于它们的半径比.

设 △ABC 是一个圆的内接三角形，过 A 作切线交于 BC 的延长线于 D.证明 △ABD,△ACD 的外接圆直径的比等于 AD:CD.

⊙O 的半径是 a，ABCD 是它的内接四边形，∠A =75°，∠B = 120°，AB = BC，求四边形各边长.

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.

设O为圆心，AB为弦，延长AB至C，令BC等于圆半径，再引CO交圆于D，求证：∠BOC为∠DOA的1/3.

梯形之四边长均为已知，求作此梯形.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2，…,n,从上到下的第i行恰有个圆，且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内，忍者路径是指一串由n个圆组成的序列，从最上面一行的圆开始，每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一，直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

给定整数n > 1 ．在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站．有两家缆车公司 A 和B，各运营 k 辆缆车；每辆从一个车站运行到某个更高的车站（中间不停留其他车站） . A 公司的 k 辆缆车的k个起点互不相同， k 个终点也互不相同，并且起点较高的缆车，它的终点也较高． B 公司的缆车也满足相同的条件．我们称两个车站被某家公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站（中间不允许在车站之间有其他移动）. 确定最小的正整数 k ，使得一定有两个车站被两家公司同时连接．(印度供题）