高中数学-高考试题(北京市 2023年空间平面及关系)

问答题（2023年北京市）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3.

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求二面角A-PC-B的大小.

答案解析

(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，同理PA⊥AB，∴△PAB为直角三角形，又∵PB=√2,BC=1,PC=√3，∴PB²+BC²=PC²，∴△PBC为直角三解形，BC⊥PB，又∵BC⊥PA,PA∩PB=P，∴BC⊥平面PAB.(2)由(1)知，BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图：则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，∴(AP)⇀=(0,0,1),(AC)⇀...

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讨论

空间向量

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中，CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2，M,N分别是A1B1,A1A的中点. (I)求的长； (II)求cos⟨,⟩的值；(Ⅲ)求证A1B⊥C1M.

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，则【】

设点Q关于平面r➝=-(t+p) i➝+tj➝+(1+p)k➝的对称点为S，其中t,p为实数，i➝,j➝,k➝分别为空间坐标系坐标轴正方向的三个单位向量，若点Q与S的位置矢量分别为10i➝+15j➝+20k➝与αi➝+βj➝+γk➝，则以下说法正确的是【】

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=a,=b,=c，则下列向量中与相等的向量是【】

如图，直三棱柱ABC-A1 B1 C1的体积为4，△A1 BC的面积为2√2．（1）求A到平面A1 BC的距离；（2）设D为A1 C的中点，AA1=AB，平面A1 BC⊥平面ABB1 A1，求二面角A-BD-C的正弦值．

设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为λ，则【】

已知集合M={x│x+2≥0},N={x|x-1<0}，则M∩N=【】

在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3)，则z的共轭复数z ̅=【】

已知向量a→,b→满足a→+b→=(2,3),a→-b→=(-2,1)，则|a→ |²-|b→ |²=【】

下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是【】

空间解析几何

如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明：BC⊥AD;(2)点F满足(EF)→=(DA)→，求二面角D-AB-F的正弦值.

坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素，安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为√14/5，则该五面体的所有棱长之和为【】

求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.

在直棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=π/2,AB=AC=AA1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的不动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为【】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则【】

如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1，E，F分别是棱BC,A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为α，EF与平面ABC所成的角为β，二面角F-BC-A的平面角为γ，则【】

下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点 M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

已知平面P1:10x+15y+12z-60=0,P2:-2x+5y+4z-20=0.若存在一个四面体，其中两个面分别位于平面P1和P2上，下面哪条直线可能是该四面体的一条棱【】

Find the equation of the projection of the linex=z+2,y=2z-4 upon the plane x+y- z = 0.

Find the equation of the plane passing through the line (x-x1)/a1 =(y-y1)/b1 =(z-z1)/c1 which is parallel to the (x-x2)/a2 =(y-y2)/b2 =(z-z2)/c2 .

空间平面及关系

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-DC-B的平面角为60°．设M，N分别为AE,BC的中点．（1）证明：FN⊥AD；（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°.侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点.(1)求证：EF//ABC平面；(2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证：SC垂直于截面MAB.

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为面AC内的一点，Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上，又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ(0°<θ<90°)，线段PM的长为a.求线段PQ的长.

如图，已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β上的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么【】.

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值.

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC,SC于D,E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.