问答题(2000年全国新课程

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.

 

(I)求的长; 

(II)求cos⟨,⟩的值;

(Ⅲ)求证A1B⊥C1M.

答案解析

如图,以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz. (I)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1)∴||==(II)依题意得A1 (1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1 (0,1,2).∴=(1,-1,2),=(0,1...

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讨论

甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题.(I)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?(II)甲、乙二人中至少有一个人抽到选择题的概率是多少?

某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件,其中次数品数ξ的概率分布是ξ 0 1 2p

下图中阴影部分的面积是【 】

设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a∙b)c-(c∙a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b∙c)a-(c∙a)b不与c垂直④(3a+2b)∙(3a-2b)=9|a|2 - 4|b|2 中,是真命题的有 【 】

设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射f:A→B把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下,象(2,1)的原象是【 】

如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点.当2/3≤λ≤3/4 时,求双曲线离心率e的取值范围.

某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图(左)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(右)的抛物线段表示.(I) 写出图(左)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(右)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);(II) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102kg,时间单位:天)

设{cn},{bn}是公比不相等的两个比数列,cn =an+bn.证明数列{cn}不是等比数列.

已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1 - pcn}为等比数列,求常数p.

设函数f(x)= - ax,其中a>0.(I)解不等式f(x)≤1;(II)求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.

设点P在有向线段的延长线上,P分所成的比为λ,则【 】

如图,直三棱柱ABC-A1 B1 C1的体积为4,△A1 BC的面积为2√2.(1)求A到平面A1 BC的距离;(2)设D为A1 C的中点,AA1=AB,平面A1 BC⊥平面ABB1 A1,求二面角A-BD-C的正弦值.

设点Q关于平面r➝=-(t+p) i➝+tj➝+(1+p)k➝的对称点为S,其中t,p为实数,i➝,j➝,k➝分别为空间坐标系坐标轴正方向的三个单位向量,若点Q与S的位置矢量分别为10i➝+15j➝+20k➝与αi➝+βj➝+γk➝,则以下说法正确的是【 】

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是【 】

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则【 】

解关于x的不等式(x-a)/(x-a2 )<0(a∈R).

设0<θ<π/2,曲线x2sin⁡θ+y2cos⁡θ=1和x2cos⁡θ-y2sin⁡θ=1有4个不同的交点.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虛轴)旋转所成的曲面,其中A,A'是双曲线的顶点,C,C是冷却塔上口直径的两个端点,B,B'是下底直径的两个端点,已知AA'=14 m, CC'=18 m,BB'=22 m,塔高20 m.(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3 ,塔壁厚度不计,π取3.14).

若复数z=+ i,则arg 1/z等于______.

如图,以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox//BC,Oy//AB,E为VC中点,正四棱锥底面长为2a,高为h. (Ⅰ)求cos⁡⟨,⟩;(Ⅱ)记面BVC为α,面DVC为β,若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,求∠BED.

已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 绕其中一条轴 AB 旋转成一个圆柱.(1) 求该圆柱的表面积;(2) 将 DC 旋转 90° 至 C1D1, 求线 C1D 与平面 ABCD 的夹角.

如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4 个全等的矩形骨架,总计耗用9.6 米铁丝。 骨架将到柱底面8 等分,再用S 平方米塑輯片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(Ⅰ) 当圆柱底面半径r 为何值时, S 取得最大值? 并求出该最大值(结果精确到0.01 平方米);(Ⅱ) 在灯笼内,以矩形骨架的頂点为端点, 安装一些霓虹灯,当灯笼底面半径为0.3 米时,求图中两根直线型霓虹灯A1B3,A3B5所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

在xOy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1)及(0,3).求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.

如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为【 】

如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°. (Ⅰ)证明:C1C⊥BD.(Ⅱ)假设CD=2,CC1=3/2,记面C1BD为α,面CBD为β,求二面角a-BD-β的平面角的余弦值.(Ⅲ)当CD/CC1 的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1 C1 D1中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点.(1)求证:D1 F//平面A1 EC1;(2)求直线AC1与平面A1 EC1所成角的正弦值;(3)求二面角A-A1 C1-E的正弦值.

如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点. (1)证明:FN⊥AD;(2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 当 AB = BC 时, EF ⊥ AC;(2) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内.

如图, 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中, 点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上, 且 2DE = ED1, BF = 2FB1.(1) 证明: 点 C1 在平面 AEF 内;(2) 若 AB = 2, AD = 1, AA1 = 3, 求二面角 A − EF − A1 的正弦值.

如图, 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中, E 为 BB1 的中点.(I) 求证: BC1 // 平面 AD1E;(II) 求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值.