高中数学-竞赛试题(国际数学奥林匹克 2020年9月21-22日三角形)

证明题（2020年9月国际数学奥林匹克）

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hod:

∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.

Prove that the following three lines meet in a point : the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.

设P是凸四边形ABCD内部一点，且满足：

∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.

证明：∠ADP的内角平分线、∠PCB的内角平分线和线段AB的中垂线，三线共点。

（波兰供题）

答案解析

如图，在AD上截点E使得AE=PE∴∠PAE=∠EPA∠DPE=2∠PAE=∠PED∴DE=PD，∠ADP角平分线即为EP中垂线∠AEP+∠ABP=180°-2∠EAP+2∠EAP=180°∴A、E、...

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讨论

高中数学

已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].求证: n − m ⩽.

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

某地准备在山谷中建一座桥梁, 桥址位置的竖直截面图如图所示: 谷底 O 在水平线 MN 上, 桥 AB 与 MN平行, OO′为铅垂线 (O′在 AB 上), 经测量, 左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1 (米) 与 D 到 OO′ 的距离 a (米) 之间满足关式 h1=1/40 a2 ; 右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2 (米) 与 F 到 OO′的距离 b (米)之间满足关系式 h2=-1/800 b3+6b . 已知点 B 到 OO′的距离为 40 米.(1) 求桥 AB 的长度;(2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′的桥墩 CD 和 EF , CE 为 80 米, 其中 C, E 在 AB 上 (不包括端点), 桥墩 EF 每米造价 k (万元), 桥墩 CD 每米造价 3/2 k (万元) (k > 0), 问 O′E为多少米时, 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低?

在 △ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 a = 3, c = , B = 45º. (1) 求 sinC 的值;(2) 在边 BC 上取一点 D, 使得 cos∠ADC =-4/5, 求 tan∠DAC 的值.

在三棱柱 ABC − A1B1C1 中, AB ⊥ AC, B1C ⊥ 平面 ABC, E, F 分别是 AC, B1C 的中点.(1) 求证: EF // 平面 AB1C1;(2) 求证: 平面 AB1C ⊥ 平面 ABB1.

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P(/2,0), A、 B 是圆 C : x2+(y-1/2)2=36上的两个动点, 满足 P A = P B, 则 △P AB 面积的最大值是______.

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

设 {an} 是公差为 d 的等差数列, {bn} 是公比为 q 的等比数列. 已知 {an + bn} 的前 n 项和为 Sn = n2 − n + 2n − 1 (n ∈ N∗), 则 d + q 的值是______.

将函数y=3sin⁡(2x+π/4)的图象向右平移 π/6 个单位长度, 则平移后的图像中与 y 轴最近的对称轴的方程是__________.

三角形

△ABC 和△A'B'C'中，∠A >∠A’,则 BC >B'C'.

试证同底之三角形且在同平行线内其面积相等，又证明如何作一三角形令其面积等于已知之四边形.

试言已知三角形之两角及一角之对边,求作其形之方法.

如图，在三角形ABC中∠BAC=60°，BD平分∠ABC，交AC于D，CE平分∠ACB交AB于E，BD和CE交于F，则∠EFB=【】

设 AD 为 ∠ABC 之中线；∠ADB 之平分线交 AB 于E，∠ADC 之平分线交AC 于F，试证 EF// BC.

若三角形的两边不等，它的对不等边的两角也必不等，并且大角必对大边.

△ABC 之边 AC 之三等分点之中，设近于 A 之点为 D，而 BC 之中点为 E时，则 AE 为 BD 所二等分.

试证: 直角三角形之弦上正方形之面积，与其他两边之平方形面积之和相等.

证明 △ABC 中过 B,C 二顶点之二中线等长，则 △ABC 为等腰，并证明其逆定理.

试证三角形之高为垂足所成三角形之各角的角二等分线.

平面几何

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.

以 n 角形之顶点为顶点，而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干？

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.

AO 为圆之半径，过垂直于此之直径上一点 B，引任意弦 BP，从此弦之一端P 引切线 PC 与OB 之延线会于 C，证 CB =CP.

设二圆之连心线交一圆于 A,B 两点，交第二圆于 D,C 二点，又交二圆之一外公切线于 P 点，设在连心线上，点 A 距 P 最近，点 D 距 P 最远，试证：PA· PD = PB·PC.

圆内接四边形 ABCD 内，∠A = 90°,AB = a,BC = b，其面积为 c²，求CD,DA 及圆半径之长.

圆之直径 AB 上任意取 P 点，又 CD 与直径平行，求证 AP² + BP²=CP² + DP².

求作圆，经过一定点，与两定直线相切.

A,B,C 为三定点，求作一圆过 A,B，使从 C 到此圆的切线等于定长.