高中数学-高考试题(全国乙·理 2022年圆)

填空题（2022年全国乙·理；2022年全国乙·文）

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

答案解析

以下四个解答都可以：

(1)(x-2)²+(y-3)²=13

(2)(x-2)²+(y-1)²=5

(3)(x-4/3)²+(y-7/3)²=65/9

(4)(x-8/5)²+(y-1)²=169/25

讨论

高中数学

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则f(k)【】

双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos⁡∠F1NF2=3/5，则C的离心率为【】

某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则【】

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为【】

已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=【】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则【】

执行下面的流程图，输出的n=【】

设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=【】

已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3，则a⋅b=【】

圆

已知PA,PB,PC为过圆周上点P三弦，PT为圆之切线，设有一直线与PT平行，交PA,PB,PC于A',B',C'三点.求证：PA∙PA'=PB∙PB'=PC∙PC'.

两圆面积比等于它们的半径比.

设 △ABC 是一个圆的内接三角形，过 A 作切线交于 BC 的延长线于 D.证明 △ABD,△ACD 的外接圆直径的比等于 AD:CD.

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线，自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线，其垂足为 E、F，证明 B,E,F,C 共圆.

设O为圆心，AB为弦，延长AB至C，令BC等于圆半径，再引CO交圆于D，求证：∠BOC为∠DOA的1/3.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

如图，△ABC为给定的锐角三角形，其内切圆ω分别与边AB,AC切于点K,L.高AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q.设ω1,ω2分别为△KPB,△LQC的外接圆，AH的中点ω1,ω2外，求证：从AH的中点引向ω1,ω2的切线相等.

如图所示，在△BC中，M是边AC的中点，D,E是△ABC的外接圆在点A处的切线上的两点，满足MD//AB，且A是线段DE的中点，过A,B,E三点的圆与边AC相交于另一点P，过A,D,P三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明：∠BCQ=∠BAC.

Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC. Let P be the intersection of the tangents to the circumcircle of ABC at B and C. The line through the midpoints of line segments PB and PC meets lines AB and AC at X and Y respectively.Prove that the quadrilateral AXPY is cyclic.【译】在锐角三角形ABC中，AB>AC，△ABC的外接圆在点B和点C处的切线交于点P.一条同时过PB和PC中点的直线与AB,AC分别交于点X,Y.求证：A,X,P,Y四点共圆.

Let BC be a fixed segment in the plane, and let A be a variable point in the plane not on the line BC. Distinct points X and Y are chosen on the rays (CA) ⃗ and (BA) ⃗, respectively, such that ∠CBX=∠YCB=∠BAC.Assume that the tangents to the circumcircle of ABC at B and C meet line XY at P and Q, respectively, such that the points X,P,Y, and Q are pairwise distinct and lie on the same side of BC. Let Ω1 be the circle through X and Y centred on BC. Similarly let Ω2 be the circle through Y and Q centred on BC. Prove that Ω1 and Ω2 intersect at two fixed points as A varies.【译】在同一平面内，BC为给定线段，动点A不在直线BC上. X和Y分别为射线(CA) ⃗，射线(BA) ⃗上不重合的两点，满足∠CBX=∠YCB=∠BAC.若三角形ABC外接圆在点B和C处的切线分别交直线XY于点P和点Q，点X,P,Y,Q不重合，且位于直线BC同侧.圆Ω1经过点X,P且圆心在BC上.类地，圆Ω2经过点Y,Q且圆心在BC上.证明：当点A运动时，圆Ω1和圆Ω2始终交于两定点.

平面几何

已知直线 y = kx + b (k > 0) 与圆 x2 + y2 = 1 和圆 (x − 4)2 + y2 = 1 均相切, 则 k = _______, b = _______.

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点 . 求证：(1) CD=CM=CN；(2) CD2=AM•BN.

设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延长线相交于点 A ，与 CF 的延长线相交于点 B . 求证：BF/AE=BC3/AC3 .

半径为 1 , 2 , 3 的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．

魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=【】

设D是锐角三角形ABC（AB>AC）内部一点，使得∠DAB=∠CAD.线段AC上的点E满足∠ADE=∠BCD，线段AB上的点F满足∠FDA=∠DBC，且直线AC上的点X满足CX=BX.设O1和O2分别为三角形ADC和三角形EXD的外心.证明：直线BC,EF和O1O2共点.

我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则S1/S2 =___________.

从山顶D测得地面上同一方向的两点A和B的俯角分别是30°和45°，已知AB=40米，求山高（精确到0.1）

一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB.

证明：等腰三角形两腰上的高相等.