高中数学-高考试题(清华大学 1949年圆)

证明题（1949年清华大学）

已知PA,PB,PC为过圆周上点P三弦，PT为圆之切线，设有一直线与PT平行，交PA,PB,PC于A',B',C'三点.

求证：PA∙PA'=PB∙PB'=PC∙PC'.

答案解析

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讨论

高中数学

已知角 A 及角内一点 P，求作过 P 点的直线，使其在 A 角内之部分被 P 点平分.

清华大学解方程

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

求适合sin2x+cos2x=√2 sinx及0≤x≤2π的角的值.

求证：sin⁡(2nx)/(2nsinx)=cosx∙cos2x∙⋯∙cos⁡(2n-1x )

求证：3+4cosθ+cos2θ≥0

经过抛物线焦点的弦与抛物线的轴成角θ，试证此弦在抛物线内之截线等于L/sin²⁡θ ，其中L为正焦弦之长（经过焦点而又垂直于轴之弦，称为正焦弦）.

曲线xy=a²上一切线与坐标轴成一三角形，求此三角形的面积.

清华大学行列式

求适合于下列方程组的比例值：

圆

设由圆外一点作一切线一割线，证明此切线为割线及其圆外线分的比例中率.

设一圆之半径为 25 尺，其外切四边形之圆界为 400 尺，试求此四边形之面积。

何谓圆：___________________________.

作直线垂直于一已知线，与已知圆相切.

设G为半径为R的圆，G1,G2,⋯,Gn为半径为r的圆，已知G1,G2,⋯,Gn均外切于G，对于i=1,2,⋯,n-1，Gi与Gi+1外切，且Gn与G1外切，则下列叙述正确的有【】

从半圆之直径 AB 两端各引此半圆弦 AC,BD交于 E，求证: AC·AE+BD·BE = AB².

两圆外切，其半径各为R和r，设两圆之外公切线之交角为θ，试证 sinθ=.

于圆内接四边形内，若两对角线成垂直，求证对角线交点与一边中点之距离等于自圆心至对边之距离.

于三角形 ABC之BC边上任取X点作ABX及ACX两圆.(1)求证此两圆直径之比为AB:AC；(2)若BX:XC=m:n,试示①(m+n)cotAXC=ncotB-mcotC.②(m+n)2 AX2=(m+n)(mb2+nc2 )-mna2，其中a=BC,b=CA,c=AB.

证明：对于一组共轴圆 (co-axial circles) 一定点之诸极线 (polars) 必通过一定点，且一定直线之诸极 (poles) 必在一直线上.

平面几何

Homologous sides of two similar polygons have the ratio of 5 to 9 , the sum of the areas is 212 sq. ft. Find the area of each figure.

Twos tations,A and B on opposite side of a mountain, are both visible from a third station C. The distance AC=3m.CB=5m and the angle ACB=60°. Find the distance between A and B.

Two straight roads intersect at an angle of 30°. If two automobiles start at the same time at the junction, one at the rate of 60 miles an hour and the other atthe rate of 40 miles an hour, how far apart will they be in 15 minutes?

一定点 D在 AB 及 AC 两直线间，求作过 D至 AB、AC 两线之直线，并 D为所作线之三等分点之一点，并证有二此等线.

n 多边形诸角之和=______.

过一已知点，作直线分已知等腰梯形为两等积形.

以 n 角形之顶点为顶点，而不是 n 角形之边为边之三角形共有若干？

路旁有塔 CD，塔底 D 与路最近处为路上之 A 点.于路上 B 点测得塔顶 C之仰角为 α，又测得 BC 与路成角β .已知 AD =l，求塔高.

设R为三角形之外接圆半径，试证 acosA+bcosB+ccosC = 4RsinAsinBsinC.

设ABCD为一平行四边形，AC为对角线，由B作任意直线各交AC、CD及AD于F、G及E，求证EF·FG=BF².