高中数学-高考试题(天津大学 1921年圆)

证明题（1921年天津大学）

设由圆外一点作一切线一割线，证明此切线为割线及其圆外线分的比例中率.

答案解析

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讨论

高中数学

二水管齐开需72/7点钟装满一水池，若大管独开则较小管独开所需之时少 6点钟，试求每水管独开需若干点钟可装满此水池。

解x+y+=a,x-y+=b.

化简((x2-y2)(2x2-2xy))/4(x-y)2-xy/(x+y)

有圆锥高8寸，底之半径4寸，今距顶点 2寸之处，作与底平行之平面截断此圆锥，问此两部分之体积各几何?

设已知三角形之底边、面积及其顶角，求作此形.

圆内各等弦中点之轨迹为一同心圆周，试证之.

三角形各内角平分线必交于一点，试证之.

有三数原成等比级数，其和为9/2.若第一数以2/3乘之，第二数以2/3乘之，第三数以16/27乘之，则成等差级数，问原三数各几何?

若a:b=c:d，试证(a2+b2):a3/(a+b)=(c2+d2):c3/(c+d).

试解下列之联立方程式，求x,y,z之值

圆

圆Γ的圆心为I.凸四边形ABCD满足：线段AB,BC,CD和DA都与Γ相切.设Ω是三角形AIC的外接圆. BA往A方向的延长线交Ω于点X,BC往C方向的延长线交Ω于点Z,AD往D方向的延长线交Ω于点Y,CD往D方向的延长线交Ω于点T.证明：AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线.

已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB·AD.

有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD·AE=AC·AB.

如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=______度.

沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，(AB) ̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在(AB) ̂上，CD⊥AB.“会圆术”给出(AB) ̂的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD2/OA.当OA=2,∠AOB=60°时，s=【】

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

在△ABC中，AB=1,AC=3,∠BAC=π/2，半径为r>0的圆与边AB,AC相切，且也内切于△ABC的外接圆，则r的值为__________.

设两弦于圆内相交，其两线分之积，彼此相等，试证明之.

求作圆，经过一定点，与两定直线相切.

平面几何

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【】

一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB.

证明：等腰三角形两腰上的高相等.

为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB.

已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC(精确到小数点后两位，sin27°=0.4540).

Let n be a positive integer. A“Northern European Square Matrix (NESM) is an n×n square containing all the integers from 1 to n²,so that there is exactly one number in each grid.The two different grids are neighbours if they share a common edge.A grid is called a "valley”if the integer in it in smaller than the integers in all the neighbours of the grid. An "uphill path”is a sequence containing one or more grids satisfying:(i)the frist grid of the sequence is a valley,(ii) each subsequent grid in the sequence is the neighbour of its previous grid,(iii) the integers in the girds of the sequence is incremented.Figure out the minimum possible value of the number of uphill paths in a NESM which should be represented by a function of n.译文：令n为一个正整数，一个“北欧方阵”是一个包含1至n²所有整数的n×n的方格表，使得每个方格中恰有一个数字。两个相异方格如果有公共边，称它们是相邻的。如果一个方格内的数字比所有相邻方格内的数字都小，称其为“山谷”。一条“上坡路径”是一个包含一或多个方格的序列，满足：(1)序列的第一个方格是山谷；(2)序列中随后的每个方格都和前一个方格相邻；(3)序列中方格所写的数字递增。试求一个北欧方阵中山坡路径的最小可能值，以n的函数表示之。

如图所示，在锐角△ABC中，AB>AC，H是垂心，AM是中线，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于F.点D在BC边上，满足∠CAD=∠BAM且∠ADH=∠MAH，证明：EF平分线段AD.

自等边三角形底边上任意一点，引他二边之平行线，所得平行四边形之周围有一定之长.

直角三角形内切圆之直径与斜边之和等于其他二边之和.

三等边三角形顶角之外角，二等分线与底边平行.