证明题(2021年7月国际数学奥林匹克

圆Γ的圆心为I.凸四边形ABCD满足:线段AB,BC,CD和DA都与Γ相切.设Ω是三角形AIC的外接圆. BA往A方向的延长线交Ω于点X,BC往C方向的延长线交Ω于点Z,AD往D方向的延长线交Ω于点Y,CD往D方向的延长线交Ω于点T.证明:AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.

答案解析

暂无答案

讨论

A,B,C 为三定点,求作一圆过 A,B,使从 C 到此圆的切线等于定长.

已知PA,PB,PC为过圆周上点P三弦,PT为圆之切线,设有一直线与PT平行,交PA,PB,PC于A',B',C'三点.求证:PA∙PA'=PB∙PB'=PC∙PC'.

两圆面积比等于它们的半径比.

设 △ABC 是一个圆的内接三角形,过 A 作切线交于 BC 的延长线于 D.证明 △ABD,△ACD 的外接圆直径的比等于 AD:CD.

自 △ABC 的顶点 A 至对边作垂线,自垂足 D 作 AB、AC 过之垂线,其垂足为 E、F,证明 B,E,F,C 共圆.

设O为圆心,AB为弦,延长AB至C,令BC等于圆半径,再引CO交圆于D,求证:∠BOC为∠DOA的1/3.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD,CAE 及 ABF,试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P,则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

如图,△ABC为给定的锐角三角形,其内切圆ω分别与边AB,AC切于点K,L.高AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q.设ω1,ω2分别为△KPB,△LQC的外接圆,AH的中点ω1,ω2外,求证:从AH的中点引向ω1,ω2的切线相等.

如图所示,在△BC中,M是边AC的中点,D,E是△ABC的外接圆在点A处的切线上的两点,满足MD//AB,且A是线段DE的中点,过A,B,E三点的圆与边AC相交于另一点P,过A,D,P三点的圆与DM的延长线相交于点Q.证明:∠BCQ=∠BAC.

Let ABC be an acute-angled triangle with AB > AC. Let P be the intersection of the tangents to the circumcircle of ABC at B and C. The line through the midpoints of line segments PB and PC meets lines AB and AC at X and Y respectively.Prove that the quadrilateral AXPY is cyclic.【译】在锐角三角形ABC中,AB>AC,△ABC的外接圆在点B和点C处的切线交于点P.一条同时过PB和PC中点的直线与AB,AC分别交于点X,Y.求证:A,X,P,Y四点共圆.

等积各三角形,证明其等腰者周界为极小,当其底相等时.

三角形ABC中,自A、B两点各作对边垂线,垂足为D、E,设M、N为DE及AB之两中点,证明MN⊥DE.

三角形ABC中,其边为a,b,c,内接圆半径为r,试证:a+b+c=2r(cot⁡(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2))

With BC, one leg of △ABC, as diameter, a circle is described intersecting the hypotenuse AC at P. From P draw a tangent intersecting AB at D. Showt hat AD = BD.

The sides of a triangle are 149,163 and 222. To find(1) The area of the triangle.(2) The radius of the inscribed circle.(3) The angles of the triangle.

在△ABC的边AB,AC上各取D,E点,使AD=1/3 AB,AE=1/3 AC,连结BE,CD相交于F点.求证:S△FBC=1/2 S△ABC.

设 △ABC 的重心为 G,BC、CA 的中点为 E、F,设 △ABC 的面积为 K,求△GEF 的面积.

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2,…,n,从上到下的第i行恰有个圆,且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内,忍者路径是指一串由n个圆组成的序列,从最上面一行的圆开始,每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一,直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

Let BC be a fixed segment in the plane, and let A be a variable point in the plane not on the line BC. Distinct points X and Y are chosen on the rays (CA) ⃗ and (BA) ⃗, respectively, such that ∠CBX=∠YCB=∠BAC.Assume that the tangents to the circumcircle of ABC at B and C meet line XY at P and Q, respectively, such that the points X,P,Y, and Q are pairwise distinct and lie on the same side of BC. Let Ω1 be the circle through X and Y centred on BC. Similarly let Ω2 be the circle through Y and Q centred on BC. Prove that Ω1 and Ω2 intersect at two fixed points as A varies.【译】在同一平面内,BC为给定线段,动点A不在直线BC上. X和Y分别为射线(CA) ⃗,射线(BA) ⃗上不重合的两点,满足∠CBX=∠YCB=∠BAC.若三角形ABC外接圆在点B和C处的切线分别交直线XY于点P和点Q,点X,P,Y,Q不重合,且位于直线BC同侧.圆Ω1经过点X,P且圆心在BC上.类地,圆Ω2经过点Y,Q且圆心在BC上.证明:当点A运动时,圆Ω1和圆Ω2始终交于两定点.

在锐角三角形ABC中,AB<AC.设Ω为三角形ABC的外接圆.点S是Ω上包含点A的弧BC的中点.过点A作垂直于BC的直线与BS交于点D,与圆Ω交于另一点E,E≠A.过点D且平行于BC 的直线与直线BE交于点L.记ω为三角形BDL的外接圆.设ω与Ω交于另一点P,P≠B.证明:ω在点P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的内角平分线上.