问答题(1947年圣约翰大学

Transform the difference of two squares into a rectangle, the ratio of two sides being 2 : 3.

答案解析

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讨论

There are 4n pebbles of weights 1,2,3,…,4n. Each pebble is coloured in one of n colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:● The total weights of both piles are the same.● Each pile contains two pebbles of each colour.有 4n 枚石子,重量分别为 1 , 2 , 3 , … , 4n .每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:可以把这些小石子分成两堆,且满足以下两个条件:● 两堆小石子的总重量相同;● 每堆中每种颜色的小石子各有两枚.(匈牙利供题)

如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为【 】

如图,AB是⊙O的直径,CB是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.

已知:如图,MN为圆的直径,P、C为圆上两点,连PM、PN,过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D,求证:AC2=AB·AD.

有一个圆内接三角形ABC,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E,求证:AD·AE=AC·AB.

如图所示,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠BAC=______度.

沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,(AB) ̂是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在(AB) ̂上,CD⊥AB.“会圆术”给出(AB) ̂的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD2/OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=【 】

过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________.

如图,AD=BC=6,AB=20,∠ABC=∠DAB=120°,O为AB中点,曲线CMD上所有的点到O的距离相等,MO⊥AB,P为曲线CM上的一动点,点Q与点P关于OM对称.(1)若P在点C的位置,求∠POB的大小; (2)求五边形MQABP面积的最大值.

Suppose a convex pentagon ABCDE such that BC=DE.If there exists a point T inside ABCDE suchthat TB=TD TC=TE and ∠ABT=∠TEA. AB meet CD and CT at point P and Q respectively, withP,B,A,Q in this order on the same line. AE meet CD and DT at point R and S respectively, with R,E,A,S in this order on the same line.Prove that P,S,Q,R are on the same circle.译文:设凸五边形ABCDE满足BC=DE.若在ABCDE内存在一点T使得TB=TD,TC=TE且∠ABT= ∠TEA.直线AB分别与直线CD和CT交于点P和Q,且P,B,A,Q在同一直线上按此顺序排列;直线AE分别与直线CD和DT交于点R和S,且R,E,A,S在同一直线上按此顺序排列.证明:P,S,Q,R 四点共圆.