高中数学-竞赛试题(北京市 2023年三角函数及性质)

填空题（2023年北京市）

已知函数f(x)=sinωx+sin2x，其中ω∈N₊,ω≤2023.若f(x)<2恒成立，则满足题设的常数ω的个数为________.

答案解析

1770

【解析】

解答过程见word版

讨论

高中数学

S是集合{1,2,…,2023}的子集，满足任意两个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是______(这里|S|表示S的元素个数).

如图，∠ABC=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE，垂足分别是D,E.已知AD=8,BE=3，则DE=______.

已知数列{an },{bn}的项数均为m(m>2)，且an,bn∈{1,2,⋯,m},{an },{bn}的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0.对于k∈{0,1,2,⋯,m}，定义rk=max⁡{i|Bi≤Ai,i∈{0,1,2,⋯,m}}，其中maxM表示数集M中最大的数.(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；(2)若a1≥b1,2rj≤rj+1+rj-1,j=1,2,⋯,m-1，求rn；(3)证明：存在p,q,s,t∈{0,1,2,⋯,m}，满足p>q,s>t，使得Ap+Bt=Aq+Bs.

设函数f(x)=x-x³eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值；(2)设g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(3)求f(x)极值点的个数.

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大(结论不要求证明).

设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω>0,|φ|<π/2).(1)若f(0)=-√3/2，求φ的值.(2)已知f(x)在区间[-π/3,2π/3]上单调递增，f(2π/3)=1，再从条件①、②、③中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值.条件①：f(π/3)=√2；条件②：f(-π/3)=-1；条件③：f(x)在区间[-π/2,-π/3]上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3. (1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PC-B的大小.

设a>0，函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1,f(x1 ))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3,f(x3 ))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0,1/2].其中所有正确结论的序号是____________.

我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物林质量的“环权”，已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=______；数列{an}所有项的和为________.

三角函数

已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为α=______，β=______.

已知x是一个锐角，那么8/sinx+1/cosx的最小值是__________.

函数y=arccos⁡(sinx)(- π/3<x<2π/3)的值域是【】

函数y=-xcos⁡x的部分图像是【】

已知函数y=1/2 cos2⁡x+/2 sin⁡xcos⁡x+1,x∈R.（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（II）该函数的图像可由y=sin⁡x (x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

函数y=cos⁡x+1(-π≤x≤0)的反函数是【】

若0<α<β<π/4,sin⁡α+cos⁡α=a,sin⁡β+cos⁡β=b，则【】

设x=sinα,且α∈[-π/6,5π/6]，则arccos⁡x的取值范围是________.

不查表求sin105°的值.

求sin⁡(2arcsin(⁡4/5))的值.

三角函数及性质

函数y=sin⁡(π/3 - 2x)+cos⁡2x的最小正周期是【】

已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是【】

函数f(x)=M sin⁡(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M，则函数g(x)=M cos⁡(ωx+φ)在[a,b]上【】

若f(x)sin⁡x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是【】

函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x+1的周期为________.

已知x∈(-π/2,0),cosx=4/5，则tan2x=【】

已知f(x)=1/2 sin2x，关于该函数的四个说法：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增；③当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4]；④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【】个

设2sinA=cosA,求sinA及cosA之值.

tan30°=______.

tan45°=______.