高中数学-高考试题(中山大学 1947年数论)

问答题（1947年中山大学）

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

答案解析

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讨论

高中数学

分x3/(x+1)4 为分项分数.

求作圆，经过一定点，与两定直线相切.

圆之直径 AB 上任意取 P 点，又 CD 与直径平行，求证 AP² + BP²=CP² + DP².

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°，今 B 地在 A 地正北 3000尺，C 地在 A 地之正西 4000 尺，求敌机之高，并讨论之.

作一正方形，令其四边分别经过四已知点.

圆内接四边形 ABCD 内，∠A = 90°,AB = a,BC = b，其面积为 c²，求CD,DA 及圆半径之长.

解无理方程式+=，并就其结果讨论之.

设a1,a2,a3,⋯,an成调和级数，试证：a1 a2+a2 a3+a3 a4+⋯+an-1 an=(n-1) a1 an

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

数论

一个分数的分子与分母之和为 38，其分子和分母都减去15，约分后得到1/3，则这个分数的分母与分子之差为【】

若整数m=paqbrc，其p,q,r为质数(primes), 试求m所有约数之个数.

加法及乘法之交换律，结合律，分配律如何？

在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.

表通常十进数 345 为二进数

今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.

有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.

有连续三整数，其平方和为 50，求此三数.

设θ=2 tan-1⁡t，求以t表asin⁡(θ+b).

将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.

数系与复数

在下列各数中，已表示成三角形式的复数是【】

在复平面内，若复数z满足|z+1|=|z-i|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是【】

求复数-i的模和辐角的主值.

把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π/3，所得到的向量对应的复数是【】

复平面上点A,B对应的复数分别为z1=2,z2=-3，点P对应的复数为z,(z-z1)/(z-z2 )的辐角主值为φ.当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求φ的最小值.

已知复数z=1+i，求复数(z2 - 3z + 6)/(z + 1)的模和辐角的主值.

已知z1,z2是两个给定的复数，且z1≠z2，它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【】

复数z = -3[sin(4π/3) - icos(4π/3)]的辐角的主值是【】

设复数z1 = 2 - i，z2 = 1 - 3i，则复数i/z1 + z2/5的虚部等于______.

已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为【】