求所有不超过100的正整数k，使得存在整数n，满足：k|(3n6+26n4+33n2+1)
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问答题（2023年北京市）
答案解析
说明：为减少计算量，同时不失考查知识点，该参考解答将题目中的“正整数”改为“合数”。设f(n)=3n6+26n4+33n²+1，考虑k的质因子p.(1)由f(n)≡n+0+n+1≡1(mod 2)，知p≠2.(2)由f(1)=63=3²×7，知p=3,7.(3)由f(n)≡3n²+n4+3n²+1=(n²+3)²-8≡1或3(mod 5)，知p≠5.(4)由f(n)≡3n6+4n4+1(mod 11)，及模11的平方剩余为0,1,-2,3,4,5(mod 11)，知p≠11.(5)由f(2)=741=3×13×19，知p=13,19.(6)由f(n)≡3n6+9n4-n²+1(mod 17)，及模17的平方剩余为0,±1,±2,±4,±8(mod 17)，知p≠17.(7)由f(n)≡3n6+3n4+10n²+1(mod 23)，及模23的平方剩余为0,1,2,3,4,-5...
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已知实数a1,a2,⋯,an>0，求证：ai-1/ai ≥(ai-1+ai+1)/(ai+ai+1+1)其中a0=an,an+1=an.
已知x是一个锐角，那么8/sinx+1/cosx的最小值是__________.
已知a,b为正整数，a<b，且a,b互质.若关于x,y的不等式ax+by≤ab有且仅有2023组正整数解，则(a,b)=____________________(求出满足题意的所有可能数组).
使得n²+2023n为平方数的正整数n的最小值是__________.
已知在△ABC中，a=2b,cosB=2√2/3，则sin(A-B)/2+sinC/2=__________.
已知向量|a➝ |=1,|b➝ |=2，且a➝,b➝的夹角为120°.若a➝+tb➝与ta➝+b➝的夹角为锐角，则t的取值范围是__________.
设x1,x2,⋯,x2023为两两不等的正实数，对任意一个n=1,2,⋯,2023，an=都是一个整数.证明：a2023≥3034.
有一个二位数,其数字之和为 14，若将其二数字之位置交换，则所得之数较之原数大 18，求原数.
将 81 分为两整数，其一为 8 之倍数，其他为 5 之倍数.
今有三数，其和为 37，积为 1440，且其中二数的积较第三数的三倍大 12.试求此三数.
一个分数的分子与分母之和为 38，其分子和分母都减去15，约分后得到1/3，则这个分数的分母与分子之差为【 】
若整数m=paqbrc，其p,q,r为质数(primes), 试求m所有约数之个数.
在 1,2,···,99,100 一百个数内任意选出五十一个数，证明在此五十一个数内恒可以找到二个数，其中一个数为另一个数的倍数.
在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3)，则z的共轭复数z ̅=【 】
已知i是虚数单位，化简(11-3i)/(1+2i)的结果为________.
设z是虚部不为零的复数.若(2+3z+4z2)/(2-3z+4z2)是实数，则|z|2的值为__________.
在复数范围内，方程z ̅-z2=i(z ̅+z2)的解的个数为__________.
求1的三次根（实根和虚根），证：任一虚根的平方等于另一虚根，且((-1+i√3)/2)n+((-1-i√3)/2)n=-1，式中n为整数，唯不能为3的倍数.
(sinθ +icosθ)n = sinnθ +icosnθ.
设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数.证明：(1)| z1+A||z2+A|=|A|2;(2) =||.