高中数学-竞赛试题(北京市 2023年三角恒等变换)

填空题（2023年北京市）

已知x是一个锐角，那么8/sinx+1/cosx的最小值是__________.

答案解析

5√5

【解析】

解答过程见word版

讨论

三角恒等变换

设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω>0,|φ|<π/2).(1)若f(0)=-√3/2，求φ的值.(2)已知f(x)在区间[-π/3,2π/3]上单调递增，f(2π/3)=1，再从条件①、②、③中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值.条件①：f(π/3)=√2；条件②：f(-π/3)=-1；条件③：f(x)在区间[-π/2,-π/3]上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

若A+B+C =nπ (n 为整数).求证：sin2A + sin2B + sin2C = (-1)n-1 · 4sinA · sinB · sinC

求证：3+4cosθ+cos2θ≥0

若A+B+C=180°,证：sin⁡(B+2C)+sin⁡(C+2A)+sin⁡(A+2B)=4 sin⁡1/2(B-C)∙sin⁡1/2 (C-A)∙sin⁡1/2(A-B)

证明： cos⁡(α+β-γ)+cos⁡(α-β+γ)-cos⁡(β+γ-α)-cos⁡(α+β+γ)=4cosα∙sinβ∙sinγ.

求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合.

已知π/2<β<α<3π/4,cos⁡(α-β)=12/13,sin⁡(α+β)=-3/5,求sin2α的值.

已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B, 1/cos⁡A +1/cos⁡C =/cos⁡B ,求cos⁡ (A-C)/2的值.

(sin⁡7°+cos⁡15°sin8°)/(cos7° - sin⁡15°sin8°)的值为________.

若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则【】

三角函数

已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为α=______，β=______.

已知函数f(x)=sinωx+sin2x，其中ω∈N+,ω≤2023.若f(x)<2恒成立，则满足题设的常数ω的个数为________.

求下列三角方程之一般解：sin7θ-sin3θ=sinθ.

解arctgx+2arcctgx=2/3 π.

已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点, 则ω的取值范围是__________.

满足sin⁡(x - π/4)≥1/2的x的集合是【】

如果下图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成【】

方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是【】

若0<α<1，在[0,2π]上满足sinx≥α的x的范围是【】

设θ是第二象限的角,则必有【】

柯西不等式*

已知a,b,c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b=2c，则1/a+1/c≥3.

已知a,b,c为正数，且a3/2+b3/2+c3/2=1.证明：(1)abc≤1/9;(2) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2).

设a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1，证ax+by+cz≤1.

有一叠n>1 张卡片．在每张卡片上写有一个正整数．这叠卡片具有如下性质：其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值．确定所有的n，使得可以推出所有卡片上的数均相等．(爱沙尼亚供题)

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ，且 a+b+c+d=1 . 证明：(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

设 a, b, c ∈ R, a + b + c = 0, abc = 1.(1) 证明: ab + bc + ca < 0;(2) 用 max{a, b, c} 表示 a, b, c 的最大值, 证明: max{a, b, c} ⩾.

已知集合M={x│x+2≥0},N={x|x-1<0}，则M∩N=【】

在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,√3)，则z的共轭复数z ̅=【】

已知向量a→,b→满足a→+b→=(2,3),a→-b→=(-2,1)，则|a→ |²-|b→ |²=【】

下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是【】