高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2022年三角恒等变换)

问答题（2022年新高考Ⅰ）

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos⁡A/(1+sin⁡A )=(sin⁡2B)/(1+cos⁡2B)．

（1）若C=2π/3，求B；

（2）求(a²+b²)/c² 的最小值．

答案解析

（1）因为cos⁡A/(1+sin⁡A )=(sin⁡2 B)/(1+cos⁡2 B)=(2 sin⁡B cos⁡B)/(2 cos2⁡B )=sin⁡B/cos⁡B ，即sin⁡B=cos⁡A cos⁡B-sin⁡A sin⁡B=cos⁡(A+B)=-cos⁡C=1/2，而0<B<π/2，所以B=π/6；（2）由（1）知，sin⁡B=-cos⁡C>0，所以π/2<C<π,0<B<π/2，而si...

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讨论

高中数学

已知函数和g(x)=ax-ln⁡x有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

已知点A(2,1)在双曲线C:x2/a2 -y2/(a2-1)=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan⁡∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组 40 60对照组 10 90（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(P(B|A))/(P(B ̄|A))与(P(B|A ̄))/(P(B ̄|A ̄))的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R=P(A|B)/P(A ̄|B)⋅P(A ̄|B ̄)/P(A|B ̄)；（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B ̄)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2=n(ad-bc)2/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))，P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828

如图，直三棱柱ABC-A1 B1 C1的体积为4，△A1 BC的面积为2√2．（1）求A到平面A1 BC的距离；（2）设D为A1 C的中点，AA1=AB，平面A1 BC⊥平面ABB1 A1，求二面角A-BD-C的正弦值．

记Sn为数列{an }的前n项和，已知a1=1,{Sn/an }是公差为1/3的等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：1/a1 +1/a2 +⋯+1/an <2．

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为1/2．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程________________．

(1-y/x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．

已知函数f(x)及其导函数的定义域均为R，记g(x)=f' (x)，若f(3/2-2x)，g(2+x)均为偶函数，则【】

三角恒等变换

已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B, 1/cos⁡A +1/cos⁡C =/cos⁡B ,求cos⁡ (A-C)/2的值.

证明：(sin2α+1)/(1+cos2α+sin2α)=1/2 tanα+1/2.

求证：tg2α - ctg2α = -2sin4α/sin3α.

若A+B+C=180°,证：sin⁡(B+2C)+sin⁡(C+2A)+sin⁡(A+2B)=4 sin⁡1/2(B-C)∙sin⁡1/2 (C-A)∙sin⁡1/2(A-B)

已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1 ,3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=π/2.

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明.

证明：tan 3x/2 - tan x/2=2sinx/(cosx+cos2x) .

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,求tan⁡(α+β)的值.

sin15°sin30°sin75°的值等于【】

已知 α,β为锐角，cosα=4/5，tan(α-β)=-1/3. 求cos β的值.

三角函数

已知 tanθ = 2, 则 cos2θ = _______, tan(θ − π/4) = _______.

已知sin2(π/4+α)=2/3, 则sin2α的值是_______.

全国统考三角函数的诱导公式

设α=4π/3，则arccos⁡(cosα)的值是【】

求方程(sinx+cosx)2=1/2的解集.

求方程2sin(x+π/6)=1的解集.

已知0<x<π/2，简化： lg⁡(cos⁡x•tan⁡x+1-2sin2⁡(x/2))+lg⁡[cos⁡( x-π/4)]-lg⁡( 1+sin⁡2 x).

设 |a|≤1，求arccosa+arccos⁡(-a)的值.

函数y=sin2xcos2x是【】

当x∈[0,1]时，在下面关系式中正确的是【】