高中数学-高考试题(北京市 2021年双曲线)

单项选择（2021年北京市）

双曲线x²/a² -y²/b² =1过点(,)，离心率为2，则双曲线的解析式为【】

A、x²/3-y²=1

B、x²-y²/3=1

C、x²/2-y²/3=1

D、x²/3-y²/2=1

答案解析

B

讨论

圆锥曲线

如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2-y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为【】

如果双曲线x2/64-y2/36=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是【】

双曲线y2/16 - x2/9=1的准线方程是__________.

双曲线2mx2 - my2 = 2的一条准线是y=1，则m=______.

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4，求双曲线的方程.

椭圆9x2 + 16y2 = 144的离心率为______.

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明：-(a2 - b2)/a < x0 < (a2 - b2)/a.

如图，在面积为1的△PMN中，tanM=1/2,tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

如果方程x2 + ky2 = 2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是【】

双曲线

若双曲线y2-x2/m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_________．

双曲线x²/100-y²/64=1的焦点为S,S1;，其中S位于x正半轴上. P为双曲线在第一象限上的一点，记∠SPS1=α,α<π/2. 过点S且斜率与双曲线在P点切线相同的直线，与直线S1 P交于P1点，记P到直线SP1的距离为δ,β=S1 P.则不超过βδ/9 sin⁡α/2的最大整数为______.

在双曲线x2/a2 -y2/b2 =1上意一点 P作切线交此双曲线之两渐近线(asymptotes)在于Q及 R，若 O 为此双曲线之中心,试求 △OQR 外接圆心之轨迹.

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

双曲线上一点与其两渐近线之阿离如何？并证此两距离相乘之积为常数.

已知双曲线C:x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上，点B在y轴上，(F1 A) ➝⊥(F1 B) ➝,(F2 A) ➝=-2/3 (F2 B) ➝，则C的离心率为________.

设 F1, F2 是双曲线 C : x2 −y2/3 = 1 的两个焦点, O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且 |OP| = 2, 则 △PF1F2 的面积为【】

设O为坐标原点, 直线x = a与双曲线 C : x2/a2 - y2/b2 =1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线分别交于 D, E 两点. 若△ODE的面积为8, 则 C 的焦距的最小值为【】

设双曲线 C : x2/a2 − y2/b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线为 y = x, 则 C 的离心率为______.

平面解析几何

在 △ABC 中, cosC = 2/3 , AC = 4, BC = 3, 则 cosB =【】

在 ① ac =, ② csin A = 3, ③ c = b 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 若问题中的三角形存在, 求 c 的值; 若问题中的三角形不存在, 说明理由.问题：是否存在 △ABC, 它的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 sinA = sinB, C = π/6 ,__________?注：如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

在 △ABC 中, a + b = 11, 再从条件 ①、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知, 求:(I) a 的值;(II) sin C 和 △ABC 的面积.条件 ①: c = 7, cos A = -1/7;条件 ②: cos A = 1/8, cos B = 9/16.注：如果选择条件 ① 和条件 ② 分别解答, 按第一个解答计分.

在 △ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a = 2√2, b = 5, c = .(I) 求角 C 的大小;(II) 求 sin A 的值;(III) 求 sin⁡(2A+π/4) 的值.

在锐角 △ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2bsinA − a = 0.(I) 求角 B;(II) 求 cosA + cosB + cosC 的取值范围.

在 △ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 已知 a = 3, c = , B = 45º. (1) 求 sinC 的值;(2) 在边 BC 上取一点 D, 使得 cos∠ADC =-4/5, 求 tan∠DAC 的值.

圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是【】

一动圆与两圆： x2 + y2 = 1和x2 + y2 - 8x + 12 = 0 都外切，则动圆圆心的轨迹为【】

已知l1,l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线，且l1,l2于双曲线y2 - x2=1各有两个交点，分别为A1 B1 和A2 B2.(Ⅰ)求l1的斜率k的取值范围；(Ⅱ)若|A1 B1 |= |A2 B2 |,求l1,l2的方程.

如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么系数a=【】