高中数学-高考试题(北京市 2020年椭圆)

问答题（2020年北京市）

已知椭圆 C : x²/a² +y²/b² =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.

(I) 求椭圆 C 的方程;

(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

答案解析

(I) 将点 (−2, −1) 代入椭圆方程有4/a2 +1/b2 =1且 a = 2b, 则 b2 = 2, a2 = 8. 故 C : x2/8+y2/2=1.(II) 由题意结合 (I) 画出解析图如图所示. 设直线 l 的方程为 x = ty − 4, 联立直线 l 与椭圆方程 , 整理得(t2 + 4)y2 − 8ty + 8 = 0.由韦达定理得y1+y2=8t/(t2+4) ,...

查看完整答案

讨论

圆锥曲线

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

设P点在椭圆所引之二切线与其长轴之夹角为θ1,θ2，试就下列情形分别求P之轨迹.(1).tanθ1+tanθ2 为一定值.(2).cotθ1+cotθ2 为一定值.

椭圆x2/a2 +y2/b2 =1上三点P,Q,R之离心角顺次为θ,ϕ,φ，试示P,Q,R处三切线所成三角形之面积（不计符号）为abtan (θ-ϕ)/2 tan (θ-φ)/2 tan (φ-θ)/2

试求经过二曲线 x²+2y² - 4x - 2y -6 =0及y² +xy-8 =0之交点且与x轴相切之圆锥曲线方程式.

设 P 为圆上之任意点，且 F 为一焦点，证明以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

证明自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离，其乘积为一常数.

试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

已知椭圆C:x²/3+y²=1的左、右焦点分别为F1,F2，直线y=x+m与C交于A,B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m=【】

椭圆

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

已知A(0,3)和P(3,3/2)为椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)上两点.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

己知椭圆 C : x2/25 + y2/m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 , A, B 分别为 C 的左、右顶点.(1) 求 C 的方程;(2) 若点 P 在 C 上, 点 Q 在直线 x = 6 上, 且 |BP| = |BQ|, BP⊥BQ, 求 △APQ 的面积.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长。

已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.

平面解析几何

若l+m+n=0，试示方程式lx2+2nxy+my2+2mx+2ly+n=0表两直线.若此二直线与x轴交于A及B，与y轴交于C与D，试示AD,BC两直线之连合方程式为lx2+2lm/n xy+my2+2mx+2ly+n=0

求椭圆x²+5y²=5及圆(x+2)²+y²=5之实公切线之方程式.

求圆x²+y²=17之切线，使平行于直线x+4y=5.

A,B,C 为共线之三定点，动点 P 至A，B与 B，C 所张之角恒相等，试求 P 点之轨迹.

已知一圆及一直线，求作该圆之切线，使其自切点至该直线间之线段，等于已知长.

设自 A 地量得敌人炮台所在地 B 及另一地 C 间之角 ∠ABC 为 70°20'，自C 地量得 ∠ACB 为 62°50'，且量得 AC 两地之距离为 10.6 公里问 A 地至敌人炮台之距离为若干?(sin62°50'= 0.8897；cos70°20' =0.3365)

设有一三角形ABC：假定A及B两顶为固定不移，其他一C在AC²+BC²=2/5 AB²之条件下运动，则其轨迹为何如？

求已知圆 x²+y² - 6x +4y = 12 之两切方程式，与一已知线 4x + 3y +5=0平行.

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°，今 B 地在 A 地正北 3000尺，C 地在 A 地之正西 4000 尺，求敌机之高，并讨论之.

A tower of 20.7 feet high stands at the edge of the water on a bank of a river. From a point directly opposite to the tower on the other side of the river above the water, the angle of elevation of the top of the tower is 27°17' and the angle of depression of the image of its top in the water is 38°12'. Find the width of the river.