问答题(2020年新高考Ⅱ·文

已知椭圆 C1 : x2/a2  + y2/b2  = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.

(1) 求 C1 的离心率;

(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

答案解析

(1) 由已知可设 C2 的方程为 y2 = 4cx, 其中 c = .不妨设 A, C 在第一象限, 由题设得 A, B 的纵坐标分别为 b2/a, −b2/a; C, D 的纵坐标分别为 2c, −2c.故 |AB| = (2b2)/a , |CD| = 4c.由 |CD| = 4/3|AB| 得 4c = (8b2)/3a , 即 3 × c/a = 2 – 2(c/a)2, 解得 c/a = −2(舍去), c/a = ...

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