高中数学-高考试题(全国统考 1997年椭圆)

单项选择（1997年全国统考）

椭圆C与椭圆(x-3)²/9+(y-2)²/4=1关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是【】

A、(x+2)²/4+(y+3)²/9=1

B、(x-2)²/9+(y-3)²/4=1

C、(x+2)²/9+(y+3)²/4=1

D、(x-2)²/4+(y-3)²/9=1

答案解析

A

讨论

圆锥曲线

The point of contact of a tangent to an hyperbola is midway between the points in which the tangent meets the asymptotes.

双曲线之切线与渐近线相交，试证切点移动其所包围之三角形之面积为常数.

于双曲线4/3 (x-2)2-(y+1)2=1中,已知其一直径之斜度为1/3，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.

有圆锥曲线方程式为 5x² -4y² - 20x - 24y + 4= 0，试求其中心、焦点、渐近线、准线.

试证双曲线之两渐近线及任一切线所成之三角形之面积等于一常数.

在双曲线x2/a2 -y2/b2 =1上意一点 P作切线交此双曲线之两渐近线(asymptotes)在于Q及 R，若 O 为此双曲线之中心,试求 △OQR 外接圆心之轨迹.

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则【】

椭圆

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

己知椭圆 C : x2/25 + y2/m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 , A, B 分别为 C 的左、右顶点.(1) 求 C 的方程;(2) 若点 P 在 C 上, 点 Q 在直线 x = 6 上, 且 |BP| = |BQ|, BP⊥BQ, 求 △APQ 的面积.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.

已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

已知点 O(0, 0), A(−2, 0), B(2, 0). 设点 P 满足 |PA| − |PB| = 2, 且 P 为函数 y=3 图像上的点,则 |OP| =【】

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

如图，已知椭圆长轴|A1A2 |=6，焦距|F1F2 |=4，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F2F1M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

平面解析几何

设自 A 地量得敌人炮台所在地 B 及另一地 C 间之角 ∠ABC 为 70°20'，自C 地量得 ∠ACB 为 62°50'，且量得 AC 两地之距离为 10.6 公里问 A 地至敌人炮台之距离为若干?(sin62°50'= 0.8897；cos70°20' =0.3365)

在平地上一点 A，测得某山顶 P 之仰角 (elevation) 为 60°，自 A 点，在平地上，向山麓前进 800 尺至 B 点.自 B 点沿一与平地倾斜 30°之斜坡，再向山顶前进 800 尺，至 C 点，在 C 点测得山顶 P之仰角为 75°.若 A,B,C,P四点在一垂直平面内，求此山之高.

于 A,B,C 三阵地测得敌机之仰角为 60°,45°,45°，今 B 地在 A 地正北 3000尺，C 地在 A 地之正西 4000 尺，求敌机之高，并讨论之.

A tower of 20.7 feet high stands at the edge of the water on a bank of a river. From a point directly opposite to the tower on the other side of the river above the water, the angle of elevation of the top of the tower is 27°17' and the angle of depression of the image of its top in the water is 38°12'. Find the width of the river.

Two towers, A and B, on the shore of a lake can be observed from only one point C on the opposite shore. The lines joining the bases of two towers subtend anangle of 63°42' at C. The heights of the towers are 132 feet and 89 feet, and the angle of elevation of the tops as seen from C are 8°13' and 7°21' respectively.Find the distance AB.

某人在高处望见正东海面上一船首，其俯角为 30°，当船向正南行 a 里后，求得船首俯角为 15°，问此人之视点高出海面若干?

曲线xy=a²上一切线与坐标轴成一三角形，求此三角形的面积.

已知三角形三边之长为 14 尺，16 尺，18 尺，求其三中线长.

当△ABC 中A为钟角时，余弦定律为 a² =b² +c² +2bccosA.

设D为△ABC一边BC之中点，证AD²=1/4(2AB²+2AC²-BC²)