高中数学-竞赛试题(北京市 2023年解三角形)

填空题（2023年北京市）

已知在△ABC中，a=2b,cosB=2√2/3，则sin⁡(A-B)/2+sin⁡C/2=__________.

答案解析

√10/3

【解析】

解答过程见word版

讨论

三角恒等变换

角α,β满足sin⁡(α+β)+cos⁡(α+β)=2√2 cos⁡(α+π/4)sin⁡β，则【】

已知函数f(x)=cos2⁡x-sin2⁡x，则【】

若函数f(x)=Asin⁡x-√3cos⁡x的一个零点为π/3，则A=________；f(π/12)=________．

若3sin⁡α-sin⁡β=√10,α+β=π/2，则sin⁡α=__________，cos⁡2β=_________．

函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为【】

证明：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

证明：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.

试证(cosA+sinA)/(cosA-sinA)=tan2A+sec2A.

试证 (tana+tanb)/(tana-tanb)=sin⁡(a+b)/sin⁡(a-b).

设A,B,C 为一三角形之三角，试证 sin²A+sin²B+sin²C = 2+2cosAcosBcosC.

解三角形

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sin⁡C sin⁡(A-B)=sin⁡Bsin⁡(C-A)．（1）若A=2B，求C；（2）证明：2a2=b2+c2.

在△ABC中，sin2C=√3 sinC．（1）求∠C；（2）若b=6，且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长．

我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=√5 c,cos⁡C=3/5．（1）求sin⁡A的值；（2）若b=11，求△ABC的面积．

已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1).一质点从AB的中点P_0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1<x4<2，则tanθ的取值范围是【】

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ=arccos⁡(√2/10))方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

在∆ABC中，a=√6,b=2c,cosC=-1/4.(1)求∠C的大小；(2)求sinB的值；(3)求sin⁡(2A-B)的值.

函数f(x)=a-√3tan2x在闭区间[-π/6,b]上的最大值为7，最小值为3，则a×b的值为【】

设A,B,C与a,b,c依次为一三角形之三角与三边，试证a/(b+c)=

英：Show how to describe a triangle having given its angles and its perimeter.汉：己知三角形三角及周长，解此三角形.

平面解析几何

已知椭圆x2/2+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C在右准线l上，且BC//x轴.求证直线AC经过线段EF的中点.

已知F1,F2是椭圆C:x2/9+y2/4=1的两个焦点，点M在C上,则|MF1|∙|MF2|的最大值为【】

已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0)，B(0,2)，则【】

在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-,0),F2 (,0)，点M满足：|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x=1/2上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|∙|TB|=|TP|∙|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为【】

已知F1,F2为椭圆C:x2/16+y2/4=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2 |，则四边形PF1QF2的面积为________.

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P,Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⨀M与l相切.(1) 求C，⨀M的方程；(2) 设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与⨀M相切．判断直线A2A3与⨀M的位置关系，并说明理由．

点(3,0)到双曲线x2/16 - y2/9=1的一条渐近线的距离为【】

设B是椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率取值范围是【】

已知双曲线x2/m - y2=1(m>0)的一条渐近线为 x+my=0，则C的焦距为________.