问答题(2021年全国甲·理2021年全国甲·文

抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且⨀M与l相切.

(1) 求C,⨀M的方程;

(2) 设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与⨀M相切.判断直线A2A3与⨀M的位置关系,并说明理由.

答案解析

(1)设抛物线C:y2=2px(p>0),根据题意可记P(1,y0 ),Q(1,-y0),∵OP⊥OQ∴∙=1-y02=1-2p=0,解得2p=1,所以抛物线C的方程为:y2=2x.由⨀M与l相切,知⨀M的半径为1,∴⨀M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)设A1 (x1,y1 ),A2 (x2,y2 ),A3 (x3,y3),若A1 A2或A1 A3中有一条直线斜率不存在,不妨假设为A1 A2,则其方程为x=1或x=3,若A1 A2的方程为x=1,不妨设A1 (1,1),则过A1与⨀M相切的另一条直线方程为y=1,该直线与抛物线只有一个交点,即不存在A3,舍去;若A1 A2的方程为x=3,不妨设A1 (3,),A2 (3,-),则过A1与圆M相切的直线A1 A3的方程为:y-=/3(x-3),又k_(A1 A3 )=(y1-y3)/(x1-x3 )=1/(y1+y3 )=1/(+y3 )=/3⟹y3=0,x3=0,A3 (0,0),此时,直线A1 A3,A2 A3...

查看完整答案

讨论

Show that the tangents to the parabola y² = 4px at the extremities of the latus return are perpendicular and meet at the intersection of the directrix with a-axis.

从点(-8,8)引 2xy +y² =8 的两条切线,求它们的夹角.

如图, 已知椭圆 C1: x2/2+y2=1, 抛物线 C2: y2=2px (p > 0), 点 A 是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点, 过点 A的直线 l 交椭圆 C1 于点 B, 交抛物线 C2 于 M (B, M 不同于 A).(I) 若 p=1/16 , 求抛物线 C2 的焦点坐标;(II) 若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点, 求 p 的最大值.

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)(1) m是什么数值时,y的极值是0?(2) 求证:不论m是什么数值,函数图像(即抛物线)的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3) 平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.

抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直?(注:设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点,则抛物线在P点处的切线斜率是p/y0 )

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个三角形的第三边也与抛物线x2=2qy相切.

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线与A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴.证明AC经过原点O.

抛物线x2 - 4y - 3=0的焦点坐标为________.

对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是【 】

已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直, Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为__________.