高中数学-高考试题(全国统考 1995年抛物线)

填空题（1995年全国统考）

直线l过抛物线y²=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=________.

答案解析

4

讨论

抛物线

定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标.

抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l:x=1交C于P,Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2,0)，且⨀M与l相切.(1) 求C，⨀M的方程；(2) 设A1,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与⨀M相切．判断直线A2A3与⨀M的位置关系，并说明理由．

经过抛物线焦点的弦与抛物线的轴成角θ，试证此弦在抛物线内之截线等于L/sin²⁡θ ，其中L为正焦弦之长（经过焦点而又垂直于轴之弦，称为正焦弦）.

从点(-8,8)引 2xy +y² =8 的两条切线，求它们的夹角.

如图, 已知椭圆 C1: x2/2+y2=1, 抛物线 C2: y2=2px (p > 0), 点 A 是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点, 过点 A的直线 l 交椭圆 C1 于点 B, 交抛物线 C2 于 M (B, M 不同于 A).(I) 若 p=1/16 , 求抛物线 C2 的焦点坐标;(II) 若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点, 求 p 的最大值.

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)(1) m是什么数值时，y的极值是0？(2) 求证：不论m是什么数值，函数图像（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图，来检验这个结论.(3) 平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x上运动.问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是p/y0 ）

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与抛物线x2=2qy相切.

已知直线l:x - ny = 0(n∈N)；圆M:(x+1)2 + (y+1)2 = 1；抛物线Φ:y=(x-1)2.又l与M交于点A,B；l与Φ交于点C,D.求⁡|AB|2/|CD|2.

焦点在(-1,0)，顶点在(1,0)的抛物线方程是【】

圆锥曲线

如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2-y'2=1，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为【】

如果双曲线x2/64-y2/36=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是【】

双曲线y2/16 - x2/9=1的准线方程是__________.

双曲线2mx2 - my2 = 2的一条准线是y=1，则m=______.

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4，求双曲线的方程.

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是____________.

双曲线x2/9-y2=1的实轴长为________.

已知椭圆方程x2/a2 +y2/b2 =1,F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，|BF|/|AB| =√3/2.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M，直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

定义椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的辅助圆为x2+y2=a2.考虑椭圆x2/4+y2/3=1，点H(a,0),0<a<2. 在第一象限内，过H平行于y轴的直线与椭圆交于点E，与椭圆的辅助圆交于点F，椭圆在点E处的切线与x轴正半轴交于点G，过原点和F的直线与x轴正半轴的夹角为φ.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)若φ=π/4，则△FGH的面积为 (P) (√3-1)4/8(Ⅱ)若φ=π/3，则△FGH的面积为 (Q) 1(Ⅲ)若φ=π/6，则△FGH的面积为 (R) 3/4(Ⅳ)若φ=π/12，则△FGH的面积为 (S) 1/(2√3) (T) (3√3)/2正确的选项为【】

直线与方程

设有一三角形ABC：假定A及B两顶为固定不移，其他一C在AC²+BC²=2/5 AB²之条件下运动，则其轨迹为何如？

求已知圆 x²+y² - 6x +4y = 12 之两切方程式，与一已知线 4x + 3y +5=0平行.

Find the distance from the point (-1, -4) to the straight line which is drawn through (-2,6) and the perpendicular to the line joining (3,6) and (-5,-1).

若 kxy - 8x + 9y - 12 = 0 表示二条直线，求 k 值及此二直线所夹的角.

过一点 (2,1)的直线与直线 2x - 3y + 12 = 0 成45°角，求直线方程.

若三直线aix+biy+ci=0(i=1,2,3)相交于一点，则=0.试证之.

在定角 XOY 的二边上各取二点 P、Q，使 OP +OQ = a. 试求 PQ 的中点的轨迹.

试证方程 x² + 6xy + 9y² + 4x + 12y -5 = 0 之轨迹为二平行直线.

i) 设直线ax+by+c=0，经过点(5,-4).求其系数a,b,c须满足的条件.ii)设直线ax+by+c=0，至原点之距离为 1，求其系数a,b,c须满足的条件.

已知一点 A(-1,-2)，求至椭圆 x² + 5y² = 5 的切线方程.