证明题(1949年山东大学

若相相之二抛物线具有相同之顶点,且其主轴互相垂直,试证其公切线必与二抛物线各切于其通径之一端.

答案解析

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讨论

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)(1) m是什么数值时,y的极值是0?(2) 求证:不论m是什么数值,函数图像(即抛物线)的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1,0,1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3) 平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.

抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直?(注:设P(x0,y0)是抛物线y2=2px上一点,则抛物线在P点处的切线斜率是p/y0 )

抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个三角形的第三边也与抛物线x2=2qy相切.

若动点P到F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为___________.

求曲线y2=-16x+64的焦点.

过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1,P2两点.记:线段P1P2的中点这P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.

在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短.

定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.

已知直线l:x - ny = 0(n∈N);圆M:(x+1)2 + (y+1)2 = 1;抛物线Φ:y=(x-1)2.又l与M交于点A,B;l与Φ交于点C,D.求⁡|AB|2/|CD|2.

焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是【 】