问答题(1991年湖南省

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

答案解析

如图,以F1 F2所在的直线为x轴,线段F1 F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系. 设双曲线C的方程为x2/a2 -y2/b2 =1,其中a,b>0待定.又设F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c=.则点P的坐标为(0,-/2 c).由线段的定比分点公式得点Q的坐标为(2/3 c...

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讨论

已知椭圆x2/6+y2/3=1,直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则直线l的方程为___________.

椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为1/4,则C的离心率为【 】

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点,M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上,求点M的坐标;(2)直线l交y轴于点B,直线AM经过点F2,若△ABM有一个内角的余弦值为3/5,求b;(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d,且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6,当a变化时,求d的最小值.

已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E,F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图).问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.

已知椭圆方程x2/a2 +y2/b2 =1,F为右焦点,A为右顶点,B为上顶点,|BF|/|AB| =√3/2.(1)求椭圆的离心率e;(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M,直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

设P点在椭圆所引之二切线与其长轴之夹角为θ1,θ2,试就下列情形分别求P之轨迹.(1).tanθ1+tanθ2 为一定值.(2).cotθ1+cotθ2 为一定值.

椭圆x2/a2 +y2/b2 =1上三点P,Q,R之离心角顺次为θ,ϕ,φ,试示P,Q,R处三切线所成三角形之面积(不计符号)为abtan (θ-ϕ)/2 tan (θ-φ)/2 tan (φ-θ)/2

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

以(2,1)为焦点,直线3x-4y-5=0为准线,1/2为离心率的椭圆方程,求此椭圆主轴的长.

如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2-y'2=1,那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为【 】

如果双曲线x2/64-y2/36=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的右准线的距离是【 】

在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2 (,0),点M满足:|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=1/2上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|∙|TB|=|TP|∙|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为【 】

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A、B两点,交双曲线的渐近线与C、D两点,若|CD|=√2|AB|,则双曲线的离心率为【 】

已知点A(2,1)在双曲线C:x2/a2 -y2/(a2-1)=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tan⁡∠PAQ=2√2,求△PAQ的面积.

设双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±√3 x.(1)求C的方程;(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1 ),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M,请从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个条件成立:①M在AB上;②PQ//AB;③|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

双曲线x2/9-y2=1的实轴长为________.

已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(√7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN的中点横坐标为-2/3,则此双曲线的方程是【 】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点F1,与双曲线的渐近线交于点A,,若∠F1 F2 A=π/4,则双曲线的标准方程是【 】