高中数学-高考试题(上海市 2022年椭圆)

问答题（2022年上海市）

已知Γ:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁ (-√2,0),F₂ (√2,0),A为Γ的下顶点，M为直线l:x+y-4√2=0上一点.

(1)若a=2,AM的中点在x轴上，求点M的坐标；

(2)直线l交y轴于点B，直线AM经过点F₂，若△ABM有一个内角的余弦值为3/5，求b；

(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d，且满足d+|PF₁ |+|PF₂ |=6，当a变化时，求d的最小值.

答案解析

(1)根据已知条件有，a=2,c=√2,b2=a2-c2=2，而A为Γ的下顶点，所以A的坐标为(0,-√2)，设M(m,4√2-m)，则AM的中点G(m/2,(4√2-√2-m)/2)，由于G在x轴上，所以(4√2-√2-m)/2=0，解得m=3√2，∴M(3√2,√2).(2)若cosA=3/5，则tanA=4/3=√2/b，解得b=(3√2)/4;若...

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讨论

函数的极值与最值

已知a>0，函数f(x)=ax-xex.(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切点的方程；(2)证明函数f(x)存在唯一极值点；(3)若存在a，使得f(x)≤a+b对任意的x∈R成立，求实数b的取值范围.

某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆(如图，AD和DC为墙)，问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

某工厂科研小组，对一项生产工艺过程总结出产量指标函数和消耗指标函数分别为：f1 (x)=ax2+1/2 x+C和f2 (x)=ax2+bx+5/4，且知f1 (-1)=f2 (-1)=f1 (3)=f2 (3)=2.(1)分别求出产量指标函数f1 (x)和消耗指标函数f2 (x)的具体表达式；(2)问因素x取何值时，f1 (x)和f2 (x)有最大值或最小值，最大值或最小值各是多少？(3)画出所求出的函数的略图.

将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和.记S=∑1≤i<j≤5xi xj .问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时S取到最大值？(2)进一步地，对任意1≤i<j≤5有|xi-xj |≤2，当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值？说明理由.

设a>0，函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1,f(x1 ))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3,f(x3 ))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0,1/2].其中所有正确结论的序号是____________.

如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流人,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问:当a，b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画画的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[2/3,3/4]，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张面积最小？

设函数f(x)满足：对任意非零实数x，均有f(x)=f(1)∙x+f(2)/x-1，则f(x)在(0,+∞)上的最小值为__________.

在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度. 现定义交通流量为 v=q/x(x, q 分别是道路密度和车辆密度, 且 x ∈(0, 80]). 据调查某路段的交通流量有如下规律:，(k > 0).求: (1) 若交通流量 v 大于 95, 求 x 的取值范围;(2) 已知道路密度为 80 时, 交通流量为 50. 问 x 多少的时候 q 最大?

已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

圆锥曲线

焦点在(-1,0)，顶点在(1,0)的抛物线方程是【】

抛物线y2 = 4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为______。

抛物线y2 = 8 - 4x的准线方程是________,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____________.

如图，已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a=________.

已知双曲线x2/m - y2=1(m>0)的一条渐近线为 x+my=0，则C的焦距为________.

双曲线x2/4 - y2/5=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为______.

双曲线x2/a2 -y2/b2 =1过点(,)，离心率为2，则双曲线的解析式为【】

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A、B两点，交双曲线的渐近线与C、D两点,若|CD|=√2|AB|，则双曲线的离心率为【】

已知点A(2,1)在双曲线C:x2/a2 -y2/(a2-1)=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan⁡∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．

椭圆

设椭圆C1:x²/a² +y²=1(a>1),C2:x²/4+y²=1的离心率分别为e1,e2，若e2=√3e1，则a=【】

已知椭圆E:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)的离心率为√3/5.设椭圆E的上、下顶点分别为A,C，左、右顶点分别为B,D,|AC|=4.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N.求证：MN//CD.

已知A(0,3)和P(3,3/2)为椭圆C:x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)上两点.(1)求椭圆C的离心率；(2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

己知椭圆 C : x2/25 + y2/m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 , A, B 分别为 C 的左、右顶点.(1) 求 C 的方程;(2) 若点 P 在 C 上, 点 Q 在直线 x = 6 上, 且 |BP| = |BQ|, BP⊥BQ, 求 △APQ 的面积.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.