设双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±√3 x.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1 ),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M,请从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个条件成立:
①M在AB上;②PQ//AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
设双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±√3 x.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1 ),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M,请从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个条件成立:
①M在AB上;②PQ//AB;③|MA|=|MB|.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
(1)右焦点为F(2,0),∴c=2,∵渐近线方程为y=±√3 x,∴b/a=√3,∴b=√3 a,∴c2=a2+b2=4a2=4,∴a=1,∴b=√3.∴C的方程为:x2-y2/3=1;(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零,直线AB的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零;若选①③推②,则M为线段AB的中点,假若直线AB的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M在x轴上,即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称,与从而x1=x2,已知不符;总之,直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),则条件①M在AB上,等价于y0=k(x0-2)⇔ky0=k2 (x0-2);两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,联立消去y并化简整理得:(k2-3) x2-4k2 x+4k2=0设A(x3,y3 ),B(x3,y4 ),线段中点为N(xN,yN ),则xN=(x3+x4)/2=(2k2)/(k2-3),yN=k(xN-2)=6k/(k2-3),设M(x0,y0 ),则条件③|AM|=|BM|等价于(x0-x3 )2+(y0-y3 )2=(x0-x4 )2+(y0-y4 )2,移项并利用平方差公式整理得:(x3-x4 )[2x0-(x3+x4 )]+(y3-y4 )[2y0-(y3+y4 )]=0,[2x0-(x3+x4 )]+(y3-y4)/(x3-x4 ) [2y0-(y3+y4 )]=0,即x0-xN+k(y0-yN )=0,即x0+ky0=(8k2)/(k2-3);由题意知直线PM的斜率为-√3, 直线QM的斜率为√...
查看完整答案设 F 是抛物线的焦点,在抛物线上任取一点 P 与焦点连接,由 P 作 PQ平于主轴,试证 P 点的法线平分 ∠FPQ.
设O为坐标原点,直线y=-√3(x-1)过抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则【 】
斜率为 的直线过抛物线 C : y2 = 4x 的焦点, 且与 C 交于 A, B 两点, 则 |AB| =______.
已知方程 kx2+y2=4 ,其中k为实数。对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型 ,并画出显示其数量特征的草图.
双曲线2mx2 - my2 = 2的一条准线是y=1,则m=______.
双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.
设F1和F2为双曲线x2/4 - y2 = 1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2 = 90°,则△F1PF2的面积是【 】
设双曲线x2/a2 - y2/b2 =1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为/4 c,则双曲线的离心率为【 】
如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|,点E分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C,D,E三点,且以A,B为焦点.当2/3≤λ≤3/4 时,求双曲线离心率e的取值范围.
双曲线x2/9 - y2/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为________.
设P为双曲线x2/4 - y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是____________.
双曲线x2/9 - y2/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上。若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为______.
圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=04的距离d=_____.
某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是1/13 ,1/11 ,1/5 ,则此人将【 】
已知两点P(-2,2),Q(2,2)以及一条直线l:y=x.设长为的线段AB在直线l上移动.求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)
如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称,那么必有【 】
设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么【 】
自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
如果实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么y/x的最大值是【 】