高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2023年双曲线)

填空题（2023年新高考Ⅰ）

已知双曲线C:x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂.点A在C上，点B在y轴上，(F₁ A) ^➝⊥(F₁ B) ^➝,(F₂ A) ^➝=-2/3 (F₂ B) ^➝，则C的离心率为________.

答案解析

3√5/5由(F2 A) ➝=-2/3 (F2 B) ➝，得(|(F2 A) ➝|)/(|(F2 B) ➝|)=2/3，设(F2 A) ➝=-2x,(F2 B) ➝=3x，由对称性可得|(F1 B) ➝ |=3x.由定义可得，|(F1 A) ➝ |=2x+2a,|(AB) ➝ |=5x，设...

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讨论

平面向量

已知单位向量 a, b 的夹角为 60°, 则下列向量中, 与 b 垂直的是【】

在平面内, A, B 是两个定点, C 是动点. •= 1, 则点 C 的轨迹为【】

已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点, 则• 的取值范围是【】

已知正方形 ABCD 的边长为 2, 点 P 满足 =1/2(+) ,则|| =______ ; · =______ .

如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B = 60º, AB = 3, BC = 6, 且 =λ, ·= -3/2, 则实数 λ 的值为_____, 若 M, N 是线段 BC 上的动点, 且 || = 1, 则· 的最小值为______.

设 k ∈ N∗, 已知平面向量 a1, a2, b1, b2, · · · , bk 两两不同, |a1 − a2| = 1. 对于任意 i = 1, 2, j = 1, 2, 3,· · · , k, |ai − bj| ∈ {1, 2}, 则 k 的最大值是_______________.

已知单位向量 e1, e2 满足|e1-e2 |≤, 设 a = e1 + e2, b = 3e1 + e2, 向量 a, b 的夹角为 θ, 则 cos2θ的最小值为_______.

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

如图所示，直线x=2 与双曲线 Γ: x2/4 - y2=1的渐进线交于E1, E2两点，记=e1,=e2.任取双曲线Γ上的点P，若 = ae1+be2 （a,b∈R)，则a,b满足的一个等式是_______.

设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则(PA1)2+(PA2)2+⋯+(PA8)2的取值范围是_______．

圆锥曲线

双曲线2mx2 - my2 = 2的一条准线是y=1，则m=______.

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4，求双曲线的方程.

如图，已知椭圆x2/24 + y2/16 = 1，直线l:x/12 + y/8 = 1.P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|∙|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

椭圆9x2 + 16y2 = 144的离心率为______.

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是____________.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明：-(a2 - b2)/a < x0 < (a2 - b2)/a.

如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为【】

如图，在面积为1的△PMN中，tanM=1/2,tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

如果方程x2 + ky2 = 2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是【】

双曲线

英：Find the equation to the normal to hyperbola x2/a2 -y2/b2 =1 at the point (x1,y1) . 汉：求双曲线x2/a2 -y2/b2 =1在点(x1,y1)处的法线方程.

The point of contact of a tangent to an hyperbola is midway between the points in which the tangent meets the asymptotes.

双曲线之切线与渐近线相交，试证切点移动其所包围之三角形之面积为常数.

Reduce the hyperbola 4x² - 9y² - 24x + 36y - 36 = 0 to standard form.

双曲线x²/100-y²/64=1的焦点为S,S1;，其中S位于x正半轴上. P为双曲线在第一象限上的一点，记∠SPS1=α,α<π/2. 过点S且斜率与双曲线在P点切线相同的直线，与直线S1 P交于P1点，记P到直线SP1的距离为δ,β=S1 P.则不超过βδ/9 sin⁡α/2的最大整数为______.

于双曲线4/3 (x-2)2-(y+1)2=1中,已知其一直径之斜度为1/3，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.

有圆锥曲线方程式为 5x² -4y² - 20x - 24y + 4= 0，试求其中心、焦点、渐近线、准线.

试证双曲线之两渐近线及任一切线所成之三角形之面积等于一常数.

在双曲线x2/a2 -y2/b2 =1上意一点 P作切线交此双曲线之两渐近线(asymptotes)在于Q及 R，若 O 为此双曲线之中心,试求 △OQR 外接圆心之轨迹.

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.