高中数学-高考试题(天津市 2022年椭圆)

问答题（2022年天津市）

已知椭圆方程x²/a² +y²/b² =1,F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，|BF|/|AB| =√3/2.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M，直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

答案解析

(1)|BF|/|AB| =a/√(a2+b2 )=√3/2⟹a2/(a2+b2 )=3/4⟹a2=3b2=3(a2-c2 )⟹c2/a2 =2/3∴e=c/a=√6/3.(2)由(1)可知椭圆为x2/a2 +y2/(a2/3)=1，即x2+3y2=a2.设直线l:y=kx+m，联立x2+3y2=a2，消去y可得：(3k2+1) x2+6kmx+(3m2-a2 )=0,又直线l与椭圆只有一个公共点，∴∆=36k2 m2-4(3k2+1)(3m2-a2 )=0，所以3m2=a2 (3k2+1)，又...

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讨论

圆锥曲线

已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l:x-√3 y+8+2√3=0上.当∠F1 PF2取最大值时，比|PF1 |/(|PF2 |)的值为____________.

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为1/2．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．

已知椭圆x2/6+y2/3=1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则直线l的方程为___________．

椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为1/4，则C的离心率为【】

已知椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的离心率为1/3，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若(BA1)⋅(BA2)=-1，则C的方程为【】

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),B(3/2,-1)两点．（1）求E的方程；（2）设过点P(1,-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足(MT)→=(TH)→．证明：直线HN过定点.

已知椭圆： E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2√3．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值．

如图，已知椭圆x2/12+y2=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q(0,1/2)在线段AB上，直线PA,PB分别交直线y=-1/2 x+3于C，D两点．（1）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（2）求|CD|的最小值．

已知Γ:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 (-√2,0),F2 (√2,0),A为Γ的下顶点，M为直线l:x+y-4√2=0上一点.(1)若a=2,AM的中点在x轴上，求点M的坐标；(2)直线l交y轴于点B，直线AM经过点F2，若△ABM有一个内角的余弦值为3/5，求b；(3)若椭圆Γ上存在点P到直线l的距离为d，且满足d+|PF1 |+|PF2 |=6，当a变化时，求d的最小值.

设椭圆C1:x²/a² +y²=1(a>1),C2:x²/4+y²=1的离心率分别为e1,e2，若e2=√3e1，则a=【】

椭圆

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

椭圆x2/9+y2/4=1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点.当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是____________.

已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点，求线段AB的中点坐标.

已知F1,F2是椭圆C:x2/9+y2/4=1的两个焦点，点M在C上,则|MF1|∙|MF2|的最大值为【】

已知F1,F2为椭圆C:x2/16+y2/4=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2 |，则四边形PF1QF2的面积为________.

设B是椭圆C:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率取值范围是【】

设B是椭圆C:x2/5+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为【】

已知椭圆E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)过点A(0,-2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B,C，直线AB,AC交y=-3于点M,N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围.

已知Γ:x2/2+y2=1,F1,F2是其左、右焦点，直线l过点P(m,0)(m≤-)，交椭圆于A,B两点，且A,B在x轴上方，点A在线段BP上.(1)若B是上顶点，||=||，求m的值;(2)若∙=1/3，且原点O到直线l的距离为4/15，求直线l的方程;(3)证明：对于任意m<-，使得//的直线有且仅有一条.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为(2√5)/5，且|BF|=√5.(1)求椭圆的方程；(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P，若MP//BF，求直线l的方程.

平面解析几何

设向量 a = (1, −1), b = (m + 1, 2m − 4), 若 a ⊥ b, 则 m =______ .

若过点 (2, 1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离为【】

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = ______.

已知单位向量 a, b 的夹角为 60°, 则下列向量中, 与 b 垂直的是【】

在平面内, A, B 是两个定点, C 是动点. •= 1, 则点 C 的轨迹为【】

点 (0, −1) 到直线 y = k(x + 1) 距离的最大值为【】

已知单位向量 e1, e2 满足|e1-e2 |≤, 设 a = e1 + e2, b = 3e1 + e2, 向量 a, b 的夹角为 θ, 则 cos2θ的最小值为_______.

在 △ABC 中, AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 90º, D 在边 BC 上, 延长 AD 到 P , 使得 AP = 9. 若=m+(3/2-m) (m 为常数), 则 CD 的长度是__________.

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P(/2,0), A、 B 是圆 C : x2+(y-1/2)2=36上的两个动点, 满足 P A = P B, 则 △P AB 面积的最大值是______.

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.