填空题(2006年全国高中数学联赛

已知椭圆x2/16+y2/4=1的左右焦点分别为F1与F2,点P在直线l:x-√3 y+8+2√3=0上.当∠F1 PF2取最大值时,比|PF1 |/(|PF2 |)的值为____________.

答案解析

√3-1由平面几何知,要使∠F1 PF2最大,则过F1,F2,P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于点A(-8-2√3,0),则∠APF1=∠AF2 P,即△APF1∼△AF2 P,即|PF1 |/(|PF2 |)=|AP|/(|A...

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讨论

已知椭圆x2/2+y2=1的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C在右准线l上,且BC//x轴.求证直线AC经过线段EF的中点.

在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2 (,0),点M满足:|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=1/2上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|∙|TB|=|TP|∙|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为【 】

点(3,0)到双曲线x2/16 - y2/9=1的一条渐近线的距离为【 】

已知双曲线x2/m - y2=1(m>0)的一条渐近线为 x+my=0,则C的焦距为________.

双曲线x2/a2 -y2/b2 =1过点(,),离心率为2,则双曲线的解析式为【 】

已知椭圆E:x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.

已知Γ:x2/2+y2=1,F1,F2是其左、右焦点,直线l过点P(m,0)(m≤-),交椭圆于A,B两点,且A,B在x轴上方,点A在线段BP上.(1)若B是上顶点,||=||,求m的值;(2)若∙=1/3,且原点O到直线l的距离为4/15,求直线l的方程;(3)证明:对于任意m<-,使得//的直线有且仅有一条.

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A、B两点,交双曲线的渐近线与C、D两点,若|CD|=√2|AB|,则双曲线的离心率为【 】

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为(2√5)/5,且|BF|=√5.(1)求椭圆的方程;(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的直线交x轴于点P,若MP//BF,求直线l的方程.

求椭园25x2+9y2=100的长轴和短轴的长、焦点坐标,并且画出它的图像。

已知椭圆短轴长为2,中心与抛物线y2=4x的顶点重合,椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长。

已知菱形的一对内角各为60°,边长为4,以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形60°角的两个顶点为焦点,并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

设 P 为圆上之任意点,且 F 为一焦点,证明以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.

已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

已知点 O(0, 0), A(−2, 0), B(2, 0). 设点 P 满足 |PA| − |PB| = 2, 且 P 为函数 y=3 图像上的点,则 |OP| =【 】

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.