1991年普通高等学校招生全国统一考试(高考)数学试卷(三南卷)

一、选择题(每小题3分,共54分)

第1题】sin15°sin30°sin75°的值等于【 】

A. /4

B. /8

C. 1/8

D. 1/4

第2题】一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么【 】

A. 它的首项是-2,公差是3

B. 它的首项是2,公差是-3

C. 它的首项是-3,公差是2

D. 它的首项是3,公差是-2

第3题】设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为【 】

A. 6

B. 2

C.

D. 2

第4题】在直角坐标系xOy中,参数方程(其中t参数)表示的曲线是【 】

A. 双曲线

B. 抛物线

C. 直线

D. 圆

第5题】设全集I为自然数集N,E={2n|n∈N},F={4n|n∈N},那么集合N可以表示成【 】

A. E∩F

B. ¯E∪F

C. E∪ ̅F

D. ¯E∩ ̅F

第6题】已知z1,z2是两个给定的复数,且z1≠z2,它们在复平面上分别对应于点Z1和点Z2.如果z满足方程|z-z1|-|z-z2|=0,那么z对应的点Z的集合是【 】

A. 双曲线

B. 线段Z1 Z2的垂直平分线

C. 分别过Z1,Z2的两条相交直线

D. 椭圆

第7题】设5π<θ<6π,cos(θ/2)=a,那么sin(θ/4)等于【 】

A. -

B. -

C. -

D. -

第8题】函数y=sin⁡x,x∈[π/2,3π/2]的反函数为【 】

A. y=arcsin⁡x,x∈[-1,1]

B. y=-arcsin⁡x,x∈[-1,1]

C. y=π+arcsin⁡x,x∈[-1,1]

D. y=π-arcsin⁡x,x∈[-1,1]

第9题】复数z = -3[sin(4π/3) - icos(4π/3)]的辐角的主值是【 】

A. 4/3 π

B. 5/3 π

C. 11/6 π

D. π/6

第10题】满足sin⁡(x - π/4)≥1/2的x的集合是【 】

A. {x|2kπ+5/12 π≤x≤2kπ+13/12 π,k∈Z}

B. {x|2kπ-π/12≤x≤2kπ+7/12 π,k∈Z}

C. {x|2kπ+π/6≤x≤2kπ+5/6 π,k∈Z}

D. {x|2kπ≤x≤2kπ+π/6,k∈Z}

第11题】点(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是【 】

A. (-6,8)

B. (-8,-6)

C. (6,8)

D. (-6,-8)

第12题】极坐标方程4sin2⁡θ = 3表示的曲线是【 】

A. 二条射线

B. 二条相交直线

C. 圆

D. 抛物线

第13题】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有【 】个。

A. 210

B. 300

C. 464

D. 600

第14题】如果下图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那 么f(x)可以写成【 】

A. sin(1+x)

B. sin(-1-x)

C. sin(x-1)

D. sin(1-x)

第15题】设命题甲为lg⁡x2 = 0;命题乙为x = 1那么【 】

A. 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件

B. 甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

第16题展开式的常数项为【 】

A. -160

B. -40

C. 40

D. 160

第17题】体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线 相等的圆柱)的全面积分别为S1,S2,S3,那么它们的 大小关系为【 】

A. S123

B. S132

C. S231

D. S213

第18题】曲线2y2 + 3x + 3 = 0与曲线x2 + y2 - 4x - 5 = 0 的公共点的个数是【 】

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

二、填空题(每小题3分,共18分)

第19题】椭圆9x2 + 16y2 = 144的离心率为______.

第20题】设复数z= 2 - i,z2 = 1 - 3i,则复数i/z1 + z2/5的虚部等于______.

第21题】已知圆台的上、下底面半径分别为r,2r,侧面积等于上、下底面积之和,则圆台的高为_______.

第22题

第23题】在体积为V的斜三棱柱ABC-A'B'C'中,已知S是侧棱CC'上的一点,过点S,A,B的截面截得的三棱锥的体积为V1,那么过点S,A',B'的截面截得的三棱锥的体积为______.

第24题】设函数f(x)=x2 + x + 1/2的定义域是[n,n+1]( n是自然数),那么f(x)的值域中共有______个整数.

三、解答题(共48分)

第25题】已知 α,β为锐角,cosα=4/5,tan(α-β)=-1/3. 求cos β的值.

第26题】解不等式≥x.

第27题】如图,已知:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB = 90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= ,M是 CC1 的中点.求证AB1⊥A1M.

第28题】设{an}是等差数列, a1=1,Sn是它的前n项和;{bn}是等比数列,其公比的绝对值小于1, Tn 是它的前n项和.如果a3=b2,S5=2T2-6,Tn =9,求{an },{bn}的通项公式.

第29题】已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

第30题】已知函数f(x)=(2x-1)/(2x+1).

(Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;

(Ⅱ)证明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>n/(n+1).