高中数学-高考试题(湖南省 1991年指数函数)

证明题（1991年湖南省）

已知函数f(x)=(2^x-1)/(2^x+1).

(Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;

(Ⅱ)证明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>n/(n+1).

答案解析

(Ⅰ)证明:设x1,x2为任意两个实数，且x1<x2，f(x)=(2x-1)/(2x+1)=1-f(x)=1-2/(2x+1),f(x2 )-f(x1 )= - =2∙,由指数函数性质知，(+1)(+1)>0, - >0,∴ f(x2 )-f(x1 )>0,故f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.(Ⅱ)要证f(n)>n/(n+1)(n∈N,n≥3),即要证1-2/(2^n+1)>1-1/(n+1),即要证2^n-1≥2n(n≥3) ①现在用数学归纳法证明...

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讨论

指数函数

计算：2-1/2+20/√2 + 1/(√2-1).

化简：(√6+√2)/(√6 - √2).

已知函数f(x)=xeax-ex．（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；（3）设n∈N^*，证明：1/+1/+⋯+1/>ln⁡( n+1)．

计算(4/2√2 )2+√2的值为【】

英：Find the value of , when x=1.汉：当x=1时,求之值.

A man borrows $5000 at 4 percent compound interest, if the principal and interest are to be repaid by 10 equal instalments, find the amount of each instalment; having given 1g 1.04 =0.0170333 and lg675565=5.829667.

试求 (根号内至无穷)

∛17与∜21之两数孰大________.

方程=5-16的所有正实数解的乘积为________.

已知a=20.7,b=(1/3)0.7,c=log2(1/3)，则a,b,c的大小关系为【】

单调性

已知c>0.设P：函数y=cx在R上单调递减.Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是【】

下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是【】

设实数x,y满足，则x+y=__________.

已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是【】

设函数 f(x) = ln|2x + 1| − ln|2x − 1|, 则 f(x)【】

已知函数 f(x) = 2ln x + 1.(1) 若 f(x) ⩽ 2x + c, 求 c 的取值范围;(2) 设 a > 0, 讨论函数 g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) 的单调性.

已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.

函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？

在区间(-∞,0)上为增函数的是【】

数学归纳法

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围；(Ⅱ)如果a∈(0,1]，证明：2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

设a>2，给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证：(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时，必有xn+1<3.

用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文：给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明：至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周，且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.

设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯，M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明：M=[-2,1/4].

给定整数n≥2，设M0 (x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.

极坐标方程4sin2⁡θ = 3表示的曲线是【】

在直角坐标系xOy中，参数方程（其中t参数）表示的曲线是【】

设命题甲为lg⁡x2 = 0；命题乙为x = 1那么【】