已知函数f(x)=xeax-ex．
（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；
（3）设n∈N^*，证明：1/
+1/
+⋯+1/
>ln( n+1)．
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问答题（2022年新高考Ⅱ）
答案解析
（1）当a=1时，f(x)=(x-1) ex，则f' (x)=xex，当x<0时，f' (x)<0，当x>0时，f' (x)>0，故f(x)的减区间为(-∞,0)，增区间为(0,+∞).（2）设h(x)=xeax-ex+1，则h(0)=0，又h' (x)=(1+ax) eax-ex，设g(x)=(1+ax) eax-ex，则g' (x)=(2a+a2 x) eax-ex，若a>1/2，则g' (0)=2a-1>0，因为g' (x)为连续不间断函数，故存在x0∈(0,+∞)，使得∀x∈(0,x0 )，总有g' (x)>0，故g(x)在(0,x0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，故h(x)在(0,x0)为增函数，故h(x)>h(0)=-1，与题设矛盾.若0<a≤1/2，则h' (x)=(1+ax) eax-ex=e^(ax+ln(1+ax) )-ex，下证：对任意x>0，总有ln(1+x)<x成立，证明：设S(x)=ln(1+x)-x，故S' (x)=1/(1+x)-1=(-x)/(1+...
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若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.
已知i,m,n是正整数，且1<i≤m<n.（Ⅰ）证明 niAim<miAin；（Ⅱ）证明 (1+m)n>(1+n)m.
已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中，大于1/2的个数的最大值是【 】
已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【 】
已知函数 f(x) = 2x − x − 1, 则不等式 f(x) > 0 的解集是【 】
已知 a > 0, b > 0, 且 ab = 1, 则 1/(2a)+1/(2b)+8/(a+b)的最小值为_______.
函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.
设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.
设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x)=(x+f(x))/(xf(x)).证明：g(x)<1.
已知函数f(x)=x3 - x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
设微分方程xdy-(y2-4y)dx=0(x>0),y(1)=2的解为y(x)，函数y=y(x)的图像斜率恒不为0，则10y(√2)的值为________.
设函数f(x)=x-x³eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程为y=-x+1.(1)求a,b的值；(2)设g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；(3)求f(x)极值点的个数.