高中数学-高考试题(新高考Ⅱ 2022年指数函数)

问答题（2022年新高考Ⅱ）

已知函数f(x)=xe^ax-e^x．

（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；

（2）当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；

（3）设n∈N^*，证明：1/+1/+⋯+1/>ln⁡( n+1)．

答案解析

（1）当a=1时，f(x)=(x-1) ex，则f' (x)=xex，当x<0时，f' (x)<0，当x>0时，f' (x)>0，故f(x)的减区间为(-∞,0)，增区间为(0,+∞).（2）设h(x)=xeax-ex+1，则h(0)=0，又h' (x)=(1+ax) eax-ex，设g(x)=(1+ax) eax-ex，则g' (x)=(2a+a2 x) eax-ex，若a>1/2，则g' (0)=2a-1>0，因为g' (x)为连续不间断函数，故存在x0∈(0,+∞)，使得∀x∈(0,x0 )，总有g' (x)>0，故g(x)在(0,x0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，故h(x)在(0,x0)为增函数，故h(x)>h(0)=-1，与题设矛盾.若0<a≤1/2，则h' (x)=(1+ax) eax-ex=e^(ax+ln⁡(1+ax) )-ex，下证：对任意x>0，总有ln⁡(1+x)<x成立，证明：设S(x)=ln⁡(1+x)-x，故S' (x)=1/(1+x)-1=(-x)/(1+...

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讨论

基本不等式

已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【】

已知 a > 0, b > 0, 且 ab = 1, 则 1/(2a)+1/(2b)+8/(a+b)的最小值为_______.

不等式(2-x)/(x+4)>0的解集是__________.

已知 a, b ∈ R, 则下列各式正确的是【】

设an=++⋯+ (n=1,2,⋯).(Ⅰ) 证明不等式n(n+1)/2<an<(n+1)2/2对所有的正整数n都成立.(Ⅱ) 设bn<an/[n(n+1)](n=1,2,⋯)，用极限定义证明bn =1/2.

当sin2x>0时，求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.

已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式logax - 4loga2x + 12loga3x + ⋯ + n(-2)n-1loganx > (1-(-2)n)/3·loga(x2 - a).

解不等式2 + (5-x) + log2(1/x) > 0.

不等式>3-2x的解集是__________.

解不等式 loga⁡(1-1/x)>1.

指数函数

化简：(√6+√2)/(√6 - √2).

北京大学指数函数

某人每年存定款入银行，年利率依复利计算，若干年后得本利和恰为定款 3 倍设年数加倍.得本利和为定款之 5 倍，但取款时不存入定款，问年利率若干?

设1980年底我国人口以10亿计算.(1) 如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？(2) 要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060

函数y=lg10x中，x的取值范围是__________.

如果正实数a,b满足ab=ba，且a<1，证明 a=b.

全国统考指数函数

设2a = 3,2b = 6,2c = 12，则a,b,c【】

已知函数f(x)=(2x-1)/(2x+1).(Ⅰ)证明: f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;(Ⅱ)证明对于任意不小于3的自然数n,都有f(n)>n/(n+1).

设a,b,c都是正数，且3a = 4b = 6c，那么【】

导数的应用

已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].求证: n − m ⩽.

已知函数f(x)=(3-2x)/(x2+a).(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

设a,b为实数，且a>1，函数f(x)=ax-bx+e2 (x∈R)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>2e4，函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，满足：x2>blnb/(2e2 ) x1+e2/b. (注：e=2.71828… 是自然对数的底数)

已知函数f(x)=x3-x+1，则【】

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.

若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值，则【】

已知曲线y=x3-6x2+11x-6. 在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值.

求过点(-1,0)并与曲线y=(x+1)/(x+2)相切的直线方程.

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。