问答题(2001年全国新课程

设a>0,f(x)=ex/a+a/ex 是R上的偶函数.

(Ⅰ)求a的值.

(Ⅱ)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.

答案解析

(Ⅰ)依题意,对一切x∈R有f(x)=f(-x),即ex/a+a/ex =1/(aex )+aex,所以(a-1/a)(ex-1/ex )=0对一切x∈R成立.由此得a-1/a=0,即a2=1.又因为a>0...

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讨论

若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是______________.

写出曲线y=ln⁡|x|过坐标原点的切线方程:____________,____________.

已知函数f(x)=ln⁡(1+x)+axe-x(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

已知函数f(x)=ax-1/x-(a+1)ln⁡x.(1)当a=0时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知a,b∈R,曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b).证明:(ⅰ)若a>e,则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1);(ⅱ)若0<a<e,x1<x2<x_3,则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 ).(注:e=2.71828⋯是自然对数的底数)

设f(x)=ex-asinx,g(x)=b√x.(1)求函数y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)若y=f(x)与y=g(x)有公共点,ⅰ)当a=0时,求b的取值范围;ⅱ)求证:a2+b2>e.

最高次项系数为1的三次函数f(x)和实数集上的连续函数g(x)满足下列条件,求f(4).(1)对于任意实数x,f(x)=f(1)+(x-1) f' [g(x)],(2)函数g(x)的最小值为5/2,(3) f(0)=-3,f[g(1)]=6.

设微分方程xdy-(y2-4y)dx=0(x>0),y(1)=2的解为y(x),函数y=y(x)的图像斜率恒不为0,则10y(√2)的值为________.

设x为正实数,则x/(8x³+5x+2)的最大值为【 】

已知函数 f(x) = aex−1 − ln x + ln a.(1) 当 a = e 时, 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2) 若 f(x) ⩾ 1, 求 a 的取值范围.