高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2023年导数的应用)

问答题（2023年新高考Ⅰ）

已知函数f(x)=a(e^x+a)-x.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.

答案解析

（1）对f(x)求导得：f' (x)=aex-1，① 当a≤0时，f' (x)<0，f(x)单调递减；② 当a>0时，令f' (x)=0，得：aex-1=0，解得：x=-lna.当x<-lna时，f' (x)<0，f(x)单调递减；当x>-lna时，f' (x)>0，f(x)单调递增.（2）由（1）知，当a>0时，f(x)先减后增，且在x=-lna处取最小值，故只需证f(-lna)>2lna+3/2即可.令g(a)=f(-lna)-2ln...

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讨论

高中数学

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.

一圆与二坐标轴及直线 x=a相切，求其方程.

解不等式>x+a,(a>0)并就图说明之.

河北工业大学行列式

过一定点作一直线 AB 平行于一定平面 P，且与另一定平面 Q 所成之角等于定角 θ.

于任意 △ABC 之各边上向外作等边三角形 BCD，CAE 及 ABF，试证此诸等边三角形的外接圆共点.若此点为 P，则 PA+PB + PC =AD =BE =CF.

设二曲线c1及c2的方程依次为x²+2xy-3y²+2x+2y+2=0及x²+y²-4=0，求1) 过 c1 及 c2的交点的抛物线；2) 过 c1 及 c2 的交点的二次曲线之心之轨迹.

设 F 是抛物线的焦点，在抛物线上任取一点 P 与焦点连接，由 P 作 PQ平于主轴，试证 P 点的法线平分 ∠FPQ.

设 A,B 为 x 的两个有理整式，请用辗转相除法说明并证明何种情况为互质，何种情况下有公因式.有公因式时，说明求最高公因式之方法并证明之.

解方程组，并详细讨论之.

导数的应用

已知函数f(x)=ax-1/x-(a+1)ln⁡x．（1）当a=0时，求f(x)的最大值；（2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ex ln⁡( 1+x)．（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）设g(x)=f'(x)，讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性；（3）证明：对任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．

设函数f(x)=e/2x+ln⁡x (x>0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的三点(x1,f(x1 )),(x2,f(x2 )),(x_3,f(x_3 ))处的切线都经过点(a,b)．证明：（ⅰ）若a>e，则0<b-f(a)<1/2 (a/e-1)；（ⅱ）若0<a<e,x1<x2<x_3，则2/e+(e-a)/(6e2 )<1/x1 +1/x_3 <2/a-(e-a)/(6e2 )．（注：e=2.71828⋯是自然对数的底数）

设f(x)=ex-asinx,g(x)=b√x.(1)求函数y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程；(2)若y=f(x)与y=g(x)有公共点，ⅰ)当a=0时，求b的取值范围；ⅱ)求证：a2+b2>e.

过点(0,4)作曲线y=x3-x+2的切线，这条切线在x轴上的截距为【】

求使方程2x3-6x2+k=0恰有2个互异实数解的整数k共有多少个.

点P在直线上运动，t(t≥0)时刻的速度v(t)和加速度a(t)满足以下条件：(1)当0≤t≤2时，v(t)=2t3-8t.(2)当t≥2时，a(t)=6t+4.求点P从t=0到t=3时刻移动的距离.

最高次项系数为1的三次函数f(x)和实数集上的连续函数g(x)满足下列条件，求f(4).(1)对于任意实数x,f(x)=f(1)+(x-1) f' [g(x)],(2)函数g(x)的最小值为5/2,(3) f(0)=-3,f[g(1)]=6.

切线与经过切点之弦所成之角可用其截弦之半量之,证：x=1/2 x'.

设微分方程xdy-(y2-4y)dx=0(x>0),y(1)=2的解为y(x)，函数y=y(x)的图像斜率恒不为0，则10y(√2)的值为________.

导数与微分

韩国连续与极限

设f(x)为多项式函数，g(x)=x2 f(x)，若f(2)=1,f'(2)=3，则g'(2)的值为【】

记曲线y=x3+x2,y=-x2+k(4<k<5)与y轴围成的面积为A，这两条曲线与直线x=2围成的面积为B，如图所示，若A=B，则k的值为【】

定义在全体实数上的连续函数f(x)满足下列条件：当n-1≤x<n时，|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|( n正整数)定义在开区间(0,4)上的函数g(x)=f(t)dt-f(t)dt.若g(x)在x=2处取得最小值0，则f(x)dx的值为【】

已知f(x)为多项式函数，g(x)定义如下：g(x)=关于函数h(x)=g(x+t)×g(x+t)，下列说法正确的是【】甲：h(1)=3乙：h(x)在全体实数上连续丙：若g(x)在区间[-1,1]上单调递减，且g(-1)=-2，则h(x)在全体实数上有最小值.

对于函数f(x)，已知f'(x)=4x3-2x，且f(0)=3，求f(2)的值.

设α为正实数，函数f:R→R和g:(α,+∞)→R分别定义为f(x)=sin⁡(πx/12)和g(x)=2ln⁡(√x-√α)/ln⁡(e√x-e√α)，则f[g(x)]=__________.

关于方程(lnx)1/2/(x[a-(lnx)1/2]2) dx=1,α∈(-∞,0)∪(1,+∞)，下列叙述正确的有【】

Find the area bounded by the curves.y = sinx of y = 1/2sinx between x = 0 and x = π.

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.